将概率收敛模拟为常数

渐近结果不能通过计算机仿真来证明，因为它们是涉及无穷大概念的陈述。但是我们应该能够感觉到事情确实按照理论告诉我们的方式前进了。

考虑理论结果

其中是随机变量的函数，它们是相同且独立分布的。这表示的概率收敛到零。我想这里的原型示例是是样本均值减去样本的iidrv的共同期望值的情况，$X_n$$n$$X_n$$X_n$

问题： 我们如何通过使用来自有限样本的计算机模拟结果来令人信服地证明上述关系“在现实世界中得以实现”？

请注意，我特别选择了收敛为常数。

我在下面提供我的方法作为答案，并希望有更好的方法。

更新：我脑后的东西困扰着我-我发现了什么。我挖出一个较旧的问题，在对一个答案的评论中进行了最有趣的讨论。在这里，@ Cardinal提供了一个估计量的示例，该估计量是一致的，但其方差保持非零且渐近地为有限。因此，我的问题变得更加棘手：当模拟统计量渐近地保持非零和有限方差时，如何通过模拟证明统计量收敛于常数呢？

我认为是分布函数（在特定情况下是一个补充函数）。由于我想使用计算机模拟来证明事物趋于按照理论结果告诉我们的方式，因此我需要构造的经验分布函数。，或经验相对频率分布，然后以某种方式表明，随着增加，的值 集中“越来越多”为零。 $P()$$|X_n|$$n$$|X_n|$

要获得经验相对频率函数，我需要（大量）增加一个以上的样本，因为随着样本大小的增加，的分布 每个变化。 $|X_n|$$n$

因此，我需要从分布生成的，样品‘并联’，说范围在几千，每个一些初始大小的，说测距在数万。然后，我需要计算的值。从每个样本（对于相同的），即获得一组值。$Y_i$$m$$m$$n$$n$$|X_n|$$n$$\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

这些值可用于构建经验相对频率分布。相信理论结果，我希望的值“很多” 将“非常接近”为零-但当然不是全部。 $|X_n|$

因此，为了表明的值 确实确实越来越多地趋向于零，我将不得不重复这一过程，将样本量增加为，并表明现在浓度为零“已经增加了”。显然，为了表明它已经增加，应该为指定一个经验值。$|X_n|$$2n$$\epsilon$

够了吗？我们能以某种方式使这种“集中注意力”形式化吗？如果以更多的“样本量增加”步骤执行此过程，而这一过程更接近另一个过程，是否可以为我们提供有关实际收敛速度的一些估计，即“经验概率质量移动到阈值以下/每步”，例如一千？ $n$

或者，检查阈值的值，比如说％的概率低于该阈值，然后看看值如何减小幅度？$90$$\epsilon$

一个例子

考虑为，因此$Y_i$$U(0,1)$

我们首先生成样本，每个样本的大小为。的经验相对频率分布 好像 $m=1,000$$n=10,000$$|X_{10,000}|$

并且我们注意到％小于。 $90.10$$|X_{10,000}|$$0.0046155$

接下来，将样本大小增加到。现在的经验相对频率分布 看起来像 ，我们注意到％的值 低于。或者，现在％的值降至以下 。$n=20,000$$|X_{20,000}|$$91.80$$|X_{20,000}|$$0.0037101$$98.00$$0.0045217$

这样的示威会让你信服吗？