推导二元泊松分布

我最近遇到了双变量Poisson分布，但是对于如何导出它有点困惑。

分布由下式给出：

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

据我所知，在$\theta_{0}$项之间的相关性的测量$X$和$Y$ ; 因此，当$X$和$Y$是独立的，$\theta_{0} = 0$和分配简单地变成两个单变量泊松分布的产物。

考虑到这一点，我的困惑是基于求和项-我假设该项解释了$X$和之间的相关性$Y$。

在我看来，该加数构成某种其中“成功”的概率由下式给出二项式累积分布函数的产品$\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$和“失败”的概率由下式给出$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$，因为$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$，但我可能与此相去甚远。

有人可以提供一些有关如何导出这种分布的帮助吗？同样，如果可以将其包含在任何答案中，那么如何将模型扩展到多变量场景（例如三个或更多随机变量），那就太好了！

（最后，我已经注意到，之前有一个类似的问题（了解二元泊松分布），但实际上并未对此推导进行探讨。）

在一个幻灯片演示，Karlis和Ntzoufras限定二元泊松作为分布其中X 我独立地具有泊松θ 我分布。回想一下，拥有这样的分布意味着$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

对于$k=0, 1, 2, \ldots.$

事件是事件的不相交并集$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

对于所有，使所有三种组分非负整数，从中我们可以推断0 ≤ 我≤ 分钟（X ，ÿ ）。因为X i是独立的，所以它们的概率相乘，因此$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

这是一个公式；我们完了。 但要看到，它相当于在问题公式中，使用泊松分布的定义在参数方面写这些概率和（均未假设θ 1，θ 2是零）返工它代数看起来尽可能像乘积Pr （X 1 = x ）Pr （X 2 = y ）：$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

如果您确实想-有点暗示-您可以使用二项式系数和（$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$屈服$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

与问题完全相同。

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可以根据需要的灵活性，以多种方式对多变量方案进行泛化。最简单的方法是考虑

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

对于独立的Poisson分布变量。为了获得更大的灵活性，可以引入其他变量。举例来说，可使用独立的泊松η 我变量ÿ 1，... ，ÿ d和考虑的多元分布X 我 + （Ý 我 + ý 我+ 1 + ⋯ + Ý d），我= 1 ，$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

这是一种导出二元泊松分布的方法。

让是独立的泊松随机变量与参数θ 0，θ 1，θ 2。然后定义Y 1 = X 0 + X 1，Y 2 = X 0 + X 2。Y 1和Y 2共同的变量X 0导致该对（Y 1，Y $X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$进行关联。然后，我们必须计算质量函数的概率：$(Y_1, Y_2)$

希望这会有所帮助！

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$