对于哪种分布，有一个标准差的封闭形式的无偏估计量？

对于正态分布，存在以下标准偏差的无偏估计量：

{\hat{σ}}_{unbiased} = \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\hat{\sigma}_\text{unbiased} = \frac{\Gamma(\frac{n-1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$

这个结果之所以不太为人所知的原因似乎是，它很大程度上是一个古玩，而不是任何重要的事项。证明覆盖在这个线程上 ; 它利用了正态分布的关键属性：

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$

从那里开始，只需做一些工作，就可以期望，并通过将此答案识别为的倍数，我们可以得出。 $\mathbb{E}\left( \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2} \right)$ $\sigma$ $\hat{\sigma}_\text{unbiased}$

这让我很好奇，哪些其他分布具有标准差的闭合形式的无偏估计量。与方差的无偏估计器不同，这显然是特定于分布的。此外，要适应证明以找到其他分布的估计量，并非易事。

偏态正态分布的二次形式具有良好的分布特性，我们使用的正态分布特性实际上是一种特殊情况（因为正态是偏态正态的一种特殊类型），因此也许很难将此方法扩展到他们。但是对于其他分配，似乎需要一种完全不同的方法。

是否存在其他已知此类估计量的分布？

mathematical-statistics standard-deviation unbiased-estimator

— 蠹虫
source

如果您忽略技术干扰，答案的性质就会更加清楚。在正常情况下，您所写的内容与结论并没有真正的关系。重要的是，该特定估计量中的偏差量仅是的函数（并且不依赖于需要从数据中估计的其他分布参数）。

n

$n$

— whuber

@whuber我想我可以看到您所暗示的一般想法，显然“函数”是必要的。但是我认为这还不够-如果我们无法获得一些不错的分布结果，那么我将看不到“封闭式”方面如何易于处理。

n

$n$

— 银鱼

这取决于您所说的“封闭形式”。例如，一个人的theta函数可能是“封闭的”，而对另一个人来说，它只是无限的乘积，幂级数或复数积分。想一想，这就是Gamma函数:-)的确切含义。

— ub

@whuber好点！通过“在这个特殊的估计偏差的量”，我想你的意思是，在偏置（而不是在问题，它具有零个偏置列出的估计）是一个功能（也包括，但幸运的是，我们可以轻松地重新排列以找到一个无偏估计量）？

s

$s$

n

$n$

σ

$\sigma$

— 银鱼

@whuber：对于任何位置尺度族，都应该有一个类似的公式，需要指出的是，的函数可能是一个难解的积分。

n

$n$

— 西安

Answers:

尽管这与问题没有直接关系，但彼得·比克尔（Peter Bickel）和埃里希·莱曼（Erich Lehmann）在1968年发表的一篇论文指出，对于凸分布族，存在一个泛函的无偏估计量（对于样本量）足够大）当且仅当是多项式在 $F$ $q(F)$ $n$ $q(\alpha F+(1-\alpha)G)$ $0\le \alpha\le 1$ 。此定理不适用于此问题，因为高斯分布的集合不是凸的（高斯的混合不是高斯）。

结果在问题的扩展是，任何功率的标准偏差可以被无偏估计，提供有足够的观测时。这是从结果得出的 $\sigma^\alpha$ $\alpha<0$ 即是用于标度（和唯一的）参数。

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$

σ

$\sigma$

\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2$

然后，该标准设置可被扩展到任何位置规模家族具有有限方差。确实，

X_{1}, \dots, X_{n} \overset{iid}{\sim} τ^{- 1} f (τ^{- 1} {x - μ})

$X_1,\ldots,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim} \tau^{-1}f(\tau^{-1}\{x-\mu\})$

σ^{2}

$\sigma^2$

方差是唯一的函数 ; ${var}_{μ, τ} (X) = E_{μ, τ} [(X - μ)^{2}] = τ^{2} E_{0, 1} [X^{2}]$ $\text{var}_{\mu,\tau}(X)=\mathbb{E}_{\mu,\tau}[(X-\mu)^2]=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}[X^2]$ $\tau$
平方和 $\begin{aligned} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] & = τ^{2} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} τ^{- 2} (X_{i} - μ - \bar{X} + μ)^{2}] \\ = τ^{2} E_{0, 1} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] \end{aligned}$ $\begin{align*}\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]&=\tau^2\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n\tau^{-2}(X_i-\mu-\bar{X}+\mu)^2\right]\\ &=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]\end{align*}$ $\tau^2\psi(n)$
$E_{μ, τ} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}] = τ^{2 α} E_{0, 1} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}]$ $\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]=\tau^{2\alpha}\mathbb{E}_{0,1}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]$

— 西安
source

一个可能众所周知的案例，但是仍然是一个案例。
考虑连续均匀分布。给定一个iid样本，最大订单统计量具有期望值 $U(0,\theta)$ $X_{(n)}$

E (X_{(n)}) = \frac{n}{n + 1} θ

$E(X_{(n)}) = \frac {n}{n+1}\theta$

分布的标准偏差为

σ = \frac{θ}{2 \sqrt{3}}

$\sigma = \frac {\theta}{2\sqrt 3}$

\hat{σ} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \frac{n + 1}{n} X_{(n)}

$\hat \sigma = \frac 1{2\sqrt 3}\frac {n+1}{n}X_{(n)}$

$\sigma$

这可以归纳为分布的下界也是未知的情况，因为我们可以为范围提供一个无偏估计量，然后标准偏差又是范围的线性函数（本质上也是如此）。

$n$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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现在最困难的部分是：我们在世界上什么时候对均匀分布的标准偏差感兴趣？（+1）

— Shadowtalker

@ssdecontrol这是一个很好的问题！-请继续下一个...

— Alecos Papadopoulos

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

@Silverfish可怜以什么方式？一些快速的仿真显示，它的MSE比通常的标准偏差要低（这让我感到惊讶）。

— 戴夫

@戴夫有趣！我已经得出一个结论，那就是很糟糕，因为它只查看最大订单统计信息，但我也感到惊讶！显示了进行一些模拟的价值……

— Silverfish