对于什么（对称）分布，样本意味着比样本中位数更有效的估计器？

我一直认为，样本中位数比样本均值对集中趋势的度量更为可靠，因为它忽略了离群值。因此，我很惊讶地得知（在另一个问题中），对于从正态分布中抽取的样本，样本均值的方差小于样本中位数的方差（至少对于大）。$n$

我从数学上理解为什么这是真的。有没有一种“哲学的”方式看待这一点，从而有助于直觉何时使用中位数而不是其他分布的均值？

是否有数学工具可以帮助快速回答特定分布的问题？

假设我们将考虑范围限制为均值和方差有限的对称分布（因此，例如考虑了柯西）。

此外，我将首先将自己限制为连续的单峰情况，实际上主要是“好”情况（尽管我可能稍后再讨论其他一些情况）。

相对方差取决于样本量。讨论渐近方差的比率（倍）是很常见的，但是我们应该记住，在较小的样本量下，情况会有所不同。（中位数有时确实比其渐近行为所暗示的更好或更差。例如，在n = 3的法线下，其效率约为74％，而不是63％。通常，渐近行为在相当适度的情况下是一个很好的指南样本量。）$n$$n=3$

渐近性很容易处理：

平均数：方差= σ 2。$n\times$$\sigma^2$

中位数：方差= $n\times$，其中f（m）是中位数处的密度高度。$\frac{1}{[4f(m)^2]}$$f(m)$

所以如果，中值将是渐近更有效。$f(m)>\frac{1}{2\sigma}$

[在正常情况下，，所以$f(m)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，渐近相对效率2/π）]$\frac{1}{[4f(m)^2]}=\frac{\pi\sigma^2}{2}$$2/\pi$

我们可以看到，中位数的方差将取决于非常靠近中心的密度的行为，而均值的方差则取决于原始分布的方差（在某种意义上，该分布受各处的密度影响，并且特别是，它的行为方式更远离中心）

这就是说，虽然中位数受异常值的影响要小于平均值，但我们经常会看到，当分布的尾部很重时（它会产生更多的异常值），其方差比平均值低，这实际上驱动了性能的提高。中位数是Inliers。经常会发生这样的情况（对于固定的方差），两者倾向于并存。

也就是说，从广义上讲，作为尾部变重，有一个趋势（在一个固定值）分配得到“峰值”在同一时间（更kurtotic，在严格的意义上）。但是，这并不是确定的事情-在广泛的常用密度范围内往往会出现这种情况，但并非总是如此。当它成立时，中间的差额将减少（因为分布在正中的近邻更多的可能性），而平均的方差保持不变（因为我们固定σ 2）。$\sigma^2$$\sigma^2$

因此，在各种常见情况下，当尾巴较重时，中位数往往会比平均值更“好”（但我们必须记住，构造反例相对容易）。因此，我们可以考虑一些情况，这些情况可以向我们展示我们经常看到的情况，但是我们不应该对它们进行过多阅读，因为较重的尾部通常不会出现较高的峰。

我们知道，中位数的效率（对于大）约为正常值的平均值的63.7％。$n$

可以说，逻辑分布，类似于正态分布在中心附近呈抛物线形，但尾部较重（随着变大，它们将成指数分布）。$x$

如果我们把标度参数为1，物流具有方差和高度以1/4的中位数，所以$\pi^2/3$。方差的比率然后π2/12≈0.82那么大样品中，中值大约是82％的效率是平均值。$\frac{1}{4f(m)^2}=4$$\pi^2/12\approx 0.82$

让我们考虑另外两个密度，它们的尾部呈指数状，但峰度不同。

首先，双曲正割（）分布$\text{sech}$，其标准形式的方差为1，高度为1的中心，因此渐进方差的比率为1（在大样本中，两者的效率相同）。但是，在小样本中，平均值更为有效（例如，当n=5时，其方差约为中位数方差的95％）。$\frac{1}{2}$$n=5$

在这里，我们可以看到，随着我们通过这三种密度（保持方差恒定）的进展，中间值的高度如何增加：

我们可以提高它吗？确实可以。考虑例如double指数。标准形式的方差为2，中位数的高度为（因此，如果我们按图中的比例缩放到单位方差，则峰值为$\frac{1}{2}$，刚好高于0.7）。中位数的渐近方差是平均值的一半。$\frac{1}{\sqrt{2}}$

如果我们在给定的方差下使分布的峰值更加平稳（也许通过使尾部比指数重），那么中值仍然可以（相对而言）高效得多。峰值可以达到的高度实际上没有任何限制。

$\nu=5$

...

在有限的样本量下，有时可以显式计算中位数分布的方差。在不可行甚至不方便的地方，我们可以使用仿真来计算从分布中抽取的随机样本的中位数方差（或方差比*）（这是我为得到上面的小样本数据所做的工作） ）。

*尽管我们通常实际上实际上不需要均值的方差，但是由于我们可以在知道分布方差的情况下进行计算，因此这样做可能会更有效地进行计算，因为它的作用类似于控制变量（均值和中位数通常是非常相关的）。

如果有较重的尾巴，则中位数通常会比均值更好，而对于较轻的尾巴，均值将最好。一个有趣的具体示例是 密度函数为 的双指数（或Laplace）分布https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution

$$f(x) = \frac12 e^{-|x-\mu|} , \quad -\infty < x < \infty$$ $\mu$$X_1, X_2, \dotsc , X_n$$2/n$$\frac1{4 n f(\mu)^2} = \frac1{4 n / 4} = 1/n < 2/n$

$\sigma^2 = 1$$1/n$$n$$\frac1{4 n (1/\sqrt{2\pi})^2} = \frac{\pi}{2 n} \approx 1.57/n > 1/n$