如何使用前k个（经验）矩拟合近似PDF（即密度估计）？

我有一种情况，我能够估计数据集的（第一个）矩，并希望使用它来生成密度函数的估计。$k$

我已经遇到过Pearson分布，但是意识到它仅依赖于前4个矩（对矩的可能组合有一些限制）。

我还理解，当不使用更多假设时，任何有限的时刻集不足以“固定”特定分布。但是，我仍然希望获得更一般的发行版（Pearson发行版家族除外）。查看其他问题，我找不到这样的分布（请参阅：这里，这里，这里，这里，这里和这里）。

是否可以为任何矩集定义一些（“简单”）广义分布族？（也许是一组可以采用标准正态分布的变换，并对其进行变换，直到所有k个矩集都被确认为止）$k$$k$

（如果我们假设其他矩是否为0，则我不太在乎）$k+1\ldots\infty$

谢谢。

ps：我很高兴有一个扩展的例子。最好以R代码为例。

方法1：高阶皮尔逊系统

$p(x)$

$(a, c_0, c_1, c_2)$

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$$p(x)$

这产生了解决方案：

一段时间以前，我很有趣地解决了这个问题（与OP具有相同的思维方式）：推导和解决方案在本书的第5章中给出；如果有兴趣，可以在这里免费下载：

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

请注意，虽然二阶（二次）皮尔逊族可以用前4个矩来表示，而三阶（三次）皮尔逊风格的族则需要前6个矩。

方法2：克-夏利扩展

$k^{th}$

人口时刻还是样本时刻？

对于Pearson风格的系统：如果已知总体的矩，则使用较高的矩应明确地产生更好的拟合度。但是，如果观察到的数据是从总体中抽取的随机样本，则需要权衡取舍：较高阶多项式意味着需要较高阶矩，并且后者的估计可能不可靠（具有高方差），除非样本量为“大”。换句话说，给定样本数据，使用较高矩进行拟合可能会变得“不稳定”并产生较差的结果。Gram-Charlier扩展也是如此：增加一个额外项实际上会产生更差的拟合，因此需要格外小心。