是否有一个结果，当且仅当统计数据是平滑的时，提供引导程序才有效？

在整个过程中，我们假设统计量是某些数据的函数是从分布函数得出的；我们样本的经验分布函数是。因此，是被视为随机变量的统计量，而是该统计量的引导版本。我们使用作为KS距离 $\theta(\cdot)$ $X_1, \ldots X_n$ $F$ $\hat{F}$ $\theta(F)$ $\theta(\hat{F})$ $d_\infty$

如果统计信息是简单的线性统计信息，则对于引导程序的有效性有“ if and only if”结果。例如Mammen的定理1“引导程序何时起作用？”

如果用于某些任意函数则引导程序的作用是如果且仅当存在和使得我们可以在其中将定义为样本的某些函数，并且 $\theta(F) = \frac{1}{n} \sum_{i-1}^n h_n(X_i)$ $h_n$
$d_{\infty} [大号（ θ （ \hat{F} ） - {\hat{Ť}}_{ñ} ），大号（ θ （ F ） - Ť_{ñ} ）] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(\hat{F})-\hat{t}_n), \mathscr{L}(\theta(F)-t_n)\big] \underset{p}{\rightarrow} 0$ $\sigma_n$ $t_n$ $d_{\infty} [大号（ θ （ F ） - Ť_{ñ} ）， ñ （ 0 ， σ_{ñ}^{2} ）] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(F)-t_n), N(0, \sigma_n^2)\big]\underset{p}{\rightarrow} 0$ $\hat{t_n}$ $t_n = \mathbb{E}(\hat{t}_n)$

引导程序还可用于一般统计，也有一些更一般的结果，例如Politis Romano和Wolf的Subsampling中的定理1.6.3：

假设是从具有有限支持的所有分布的类中得出的。假设统计量在上关于范数是Frechet可微的，并且导数满足。那么是渐近正态的，并且引导程序在前一个定理的意义上起作用。 $F$ $\theta(\cdot)$ $F$ $g_F$ $0 < \textrm{Var}_F[g_F(x)] < \infty$ $\theta(F)$

我想要第二个定理的“如果且仅当”版本。这将需要一个与Frechet可微性不同的平滑度概念，因为Politis，Romano和Wolf（1999）表明样本中位数不是Frechet可微的，但是自举仍然有效。但是，样本中位数仍然是数据的平滑函数。

在Mammen中有一些非正式的评论，认为光滑是必要的：

通常，局部渐近线性对于引导的一致性似乎是必需的

引用是为了：

van Zwet，W（1989）。在Olberwolfach举行的“统计中的计算机密集过程的渐近方法”会议上进行了演讲。

但是，除了少数引证之外，我找不到任何谈话内容。

— 奥里松
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优秀的话题。所有引用的结果对于样本大小趋于无穷大都是正确的吗？

— Michael M

@Michael谢谢你，是的，一切都是渐近的。顺便说一下，最近有一些关于有限样本结果的工作（例如arxiv.org/pdf/1212.6906.pdf），但这是非常技术性的。

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— orizon

复杂的话题。有人说引导程序通常不起作用。van Zwer等。确实说必须小心引导了什么。我认为在必须进行进一步测试之前，必须先确定要引导的内容和不引导的内容。

— 卡尔

现在，我根据马门的评论更新了答案，希望进一步澄清您的困惑。而且，如果您愿意，您可以对有关该应用程序的内容进行一些解释，从而激发您询问必要性。那将帮助我改善答案。

— Henry.L 2016年

$\blacksquare$ （1）为什么分位数估计量不是Frechet可微的，但它们的自举估计量仍然一致？

在这种情况下，您需要Hadamard微分（或紧凑的微分，具体取决于您的参考源），以使引导程序起作用，中位数和任何分位数都是Hadamard可微的。在大多数应用中，Frechet差异性太强。

由于通常讨论波兰空间就足够了，因此您需要一个局部线性函数应用一个典型的紧凑性参数来将一致性结果扩展到全局情况。另请参见下面的线性化注释。

$\rho$ $T_{n}$ $n$

$\blacksquare$

[Shao＆Tu]第85-86页说明了可能会出现引导估计量不一致的情况。

$F$ $H_{BOOT}$ $H_0$

$T_{n}$

（3）引导程序估计器的行为有时取决于用于获取引导程序数据的方法。

$K$

$\blacksquare$

至于评论，正如您提到的那样，Mammen提出的“典型地，局部渐近线性似乎是引导程序一致性的必要条件”。[Shao＆Tu] p.78的评论如下，因为他们评论说（全局）线性化只是一种有助于证明一致性且不表示任何必要性的技术：

$\bar{Z_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\phi(X_n)$ $\phi(X)$ $X$ 让
$Ť_{ñ} = θ + \bar{ž_{ñ}} + Ø_{P} （ \frac{1个}{\sqrt{ñ}} ）$ $T_n=\theta+\bar{Z_n}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n^{*}$ $\bar{Z_n^{*}}$ $T_n$ $\bar{Z_n}$ $\{X_1^{*},\cdots,X_n^{*}\}$ $T_n^{*}$ $Ť_{ñ}^{*} = θ + {\bar{ž_{ñ}}}^{*} + Ø_{P} （ \frac{1个}{\sqrt{ñ}} ）$ $T_n^{*}=\theta+\bar{Z_n}^{*}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $H_{BOOT}(x)$ $x$ $=P\{\sqrt{n}(T_n-T_n^{*}) \leq x\}$ $P\{\sqrt{n}(\bar{Z_n}-\bar{Z_n}^{*}) \leq x\}$ $\bar{Z_n}$

他们给出了获得MLE类型引导的引导程序一致性的示例3.3。但是，如果全局线性以这种方式有效，那么很难想象没有局部线性如何证明一致性。所以我想这就是Mammen想要说的。

$\blacksquare$

除了以上[Shao＆Tu]提供的讨论之外，我认为您想要的是自举估计量一致性的表征条件。

$M(X)$ $T$ $CLT$

$M(X)$

我讨厌愤世嫉俗，但我仍然觉得这不是唯一的“从虚假引用”的统计著作。通过这样说，我只是觉得引用范·茨威特的演讲是非常不负责任的，尽管范·茨威特是一位伟大的学者。

$\blacksquare$

[瓦瑟曼]瓦瑟曼，拉里。《非参数统计》，Springer，2010年。

[Shao＆Tu]邵君，杜东升。折刀和引导程序。施普林格，1995年。

[Gine＆Zinn]Giné，Evarist和Joel Zinn。引导一般经验方法。概率年鉴（1990）：851-869。

[休伯]休伯，彼得·J。稳健的统计数据。威利（Wiley），1985年。

— 亨利
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