Mean = mode是否意味着对称分布？

我知道这个问题是在均值=中位数的情况下提出的，但是我没有找到与均值=模式相关的任何信息。

如果众数等于均值，我是否总能得出结论是对称分布？我会被迫以这种方式也知道中位数吗？

均值=模式并不意味着对称。

即使均值=中位数=模式，您仍然不一定具有对称性。

并预期可能的跟进-即使均值=中位数=模式且第三中心矩为零（因此矩偏度为0），您仍然不一定具有对称性。

...但是有一个后续行动。NickT在评论中问是否所有奇数矩都为零是否足以要求对称。答案是否定的。[请参见最后的讨论。† ]$^\dagger$

对称性暗示了这些各种各样的东西（假设相关力矩是有限的），但是蕴涵并没有相反-尽管许多基本文本清楚地对其中的一个或多个进行了说明。

反例的构建很简单。

考虑以下离散分布：

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

它的均值，中值，众数和第三中心矩（以及矩偏度）全为0，但它是不对称的。

此类示例也可以使用纯连续分布来完成。例如，这是具有相同属性的密度：

这是对称三角形密度的混合物（每个都有范围2），均值分别为-6，-4，-3，-1、0、1、2、5，混合重量为0.08、0.08、0.12、0.08、0.28、0.08 ，0.08、0.20。我现在才做过（以前从未见过）的事实表明，构造这些案例非常简单。

[我选择了三角形混合分量，以便该模式在视觉上清晰无误-可以使用更平滑的分布。]

这是一个额外的离散示例，用于解决Hong Ooi的问题，即这些条件可以使您达到不对称的程度。这绝不是限制性的情况，它只是说明制作看起来不太对称的示例很简单：

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

在不改变条件的情况下，可以使0处的峰值相对较高或较低。类似地，可以将右侧的点放在更远的位置（降低概率），而无需将1和-2处的相对高度改变太多（即，当您向右移动时，它们的相对概率将保持接近2：1的比例）元素左右）。

有关NickT问题的回答的更多详细信息

$\dagger$这里（见朝答案的结束）。那是一个连续的单峰不对称密度，所有奇数矩均为0，均值=中位数=模态。通过50-50混合结构，中位数为0，通过检查，模式为0-构造示例所依据的真实半线上的所有族成员的密度从原点的有限值单调降低，且均值为零，因为所有奇数矩均为0。

试试这组数字：

我不会称这种分布是对称的。

没有。

让 $X$ 是一个离散的随机变量 $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$， $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$和 $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$。明显，$X$ 不是对称的，但均值和众数均为0。

要重复我在其他地方给出的答案，但也适合以下情况：

which not only has mean, median and mode all equal, but also has zero skewness. Many other versions are possible.