半柯西分布的性质是什么？

我目前正在研究一个问题，我需要为状态空间模型开发马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法。

为了能够解决该问题，我给了以下概率：p（）= 2I（ > 0）/（1+）。是的标准偏差。$\tau$$\tau$$\tau$$\tau^2$$\tau$$x$

所以现在我知道这是一个半Cauchy分布，因为我从查看示例中就知道了它，并且因为有人告诉我。但是我不完全理解为什么它是一个“半Cauchy”发行版以及附带的属性。

在属性方面，我不确定我想要什么。我对这种计量经济学理论还很陌生。因此，对我而言，更多的是了解分布以及如何在状态空间模型上下文中使用它。模型本身看起来像这样：

$$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$$

编辑：我在p（）中包含。感谢您指出这一点。$\pi$$\tau$

一半Cauchy是柯西分布的对称半部分之一（如果未指定，则是预期的右半部分）：

由于柯西的右半边的面积是然后必须将密度加倍。因此，PDF中的2（尽管缺少$\frac12$（在评论中指出）。$\frac{1}{\pi}$

半漂亮的人有很多特性。一些我们可能需要的有用的属性。

缩放参数上先验的一个常见选择是反伽玛（这很重要，因为它在某些常见情况下是共轭的）。当需要提供较弱的先验信息时，将使用非常小的参数值。

一半的Cauchy尾巴很重，在某些情况下它也可能被认为缺乏足够的信息。盖尔曼（例如[1]）提倡对反伽玛进行半t先验（包括半Cauchy），因为它们对于较小的参数值具有更好的行为，但仅在使用大规模参数 * 时才将其视为有益的信息 。近年来，盖尔曼（Gelman）更加专注于半开玩笑。Polson和Scott [2]的论文特别给出了选择半Cauchy的其他原因。

*您的帖子显示标准的半可爱。盖尔曼可能不会事先选择它。如果您对所有标尺都不了解，则表示该标尺可能大于1小于1（可能是您想要的），但它与Gelman争论的某些事情不符对于。

[1] A. Gelman（2006），
“层次模型中方差参数的先验分布”，
贝叶斯分析，第一卷。1，N。3，第515–533页
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson和JG Scott（2012），
“关于全球尺度参数的半漂亮先验”，
贝叶斯分析，第1卷。7，第4号，887-902页
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466