统计学家为什么要定义随机矩阵？

我十年前学习数学，所以我有数学和统计学背景，但是这个问题使我丧命。

这个问题对我来说仍然有点哲学。为什么统计学家开发各种技术以处理随机矩阵？我的意思是，随机向量不能解决问题吗？如果不是，那么随机矩阵的不同列的平均值是多少？Anderson（2003，Wiley）认为随机向量是只有一列的随机矩阵的特例。

我看不到具有随机矩阵的意义（而且我敢肯定那是因为我很无知）。但是，忍受我。想象一下，我有一个包含20个随机变量的模型。如果要计算联合概率函数，为什么要将它们描绘成矩阵而不是向量？

我想念什么？

ps：很抱歉，您对这个问题的标签打的不好，但是没有随机矩阵的标签，我还不能创建一个！

编辑：将矩阵更改为标题中的矩阵

这取决于您所处的领域，但是，随机矩阵研究的一大推动力来自于原子物理学，并由Wigner率先提出。您可以在此处找到简要概述。特别是，随机矩阵的特征值（原子物理学中的能级）引起了人们的关注，因为特征值之间的相关性使我们能够洞悉核衰变过程的发射光谱。

最近，随着随机矩阵最大特征值的Tracy-Widom分布的出现，以及与看似无关的领域（如平铺理论，统计物理学，可积分性）的惊人联系，这一领域出现了大规模的复兴。系统，KPZ现象，随机组合甚至黎曼假说。您可以在此处找到更多示例。

对于更多实际的例子，一个关于行向量矩阵的自然问题是它的PCA组件是什么样的。您可以通过假设数据来自某种分布，然后查看协方差矩阵特征值来获得启发式估计，这将根据随机矩阵的普遍性进行预测：无论矢量分布是什么（在合理范围内），特征值将始终接近一组已知的类。您可以将其视为一种针对随机矩阵的CLT。有关示例，请参见本文。

您似乎对随机向量的应用感到满意。例如，我每天处理这种随机向量：不同期限的利率。美联储有H15系列，看4周，3个月，6个月和1年期美国国库券。您可以将这4个比率视为包含4个元素的向量。它也是随机的，请查看下图的历史值。

与任何随机数一样，我们可能会问自己：它们之间的协方差是多少？现在，您将获得4x4协方差矩阵。如果您根据一个月的每日数据进行估算，那么如果您希望它们不重叠，则每年可获得12个不同的协方差矩阵。随机序列的样本协方差矩阵本身就是一个随机对象，请参阅Wishart的论文“来自正常多元人口的样本中的广义产品矩分布”。在这里。有一个叫他的发行版。

这是获得随机矩阵的一种方法。正如您现在所看到的，毫无疑问，随机矩阵理论（RMT）被用于金融领域。

在理论物理学中，随机矩阵在理解具有特定对称性的系统的能谱的通用特征方面起着重要作用。

我在理论物理学方面的背景可能使我在这里表现出一些偏颇的观点，但我什至会建议随机矩阵理论（RMT）的流行源于它在物理学中的成功应用。

无需赘述，例如，可以通过计算系统哈密顿量的特征值来获得量子力学中的能谱，该特征值可以表示为厄米矩阵。通常，物理学家对特定系统不感兴趣，但想知道具有混沌特性的量子系统的一般特性是什么，这会导致厄米汉密尔顿矩阵的值在能量或其他参数变化时人体工程学地填充矩阵空间（例如边界条件）。这促使将一类物理系统视为随机矩阵，并着眼于这些系统的平均性能。如果您想深入研究Bohigas-Gianonni-Schmidt猜想，我建议您参考。

简而言之，例如，可以显示具有时间反转对称性的系统的能级与没有时间反转对称性的系统（例如，如果添加磁场会发生）的能级普遍不同。实际上，使用高斯随机矩阵进行的很短的计算可以表明，两个系统中的能级趋于不同地接近。

这些结果可以扩展并有助于理解其他对称性，这些对称性对不同领域产生了重大影响，例如粒子物理学或介观传输理论，甚至在金融市场中也是如此。

线性图是向量空间之间的图。假设您具有线性映射，并且为其域和范围空间选择了基准。然后，您可以编写一个对线性映射进行编码的矩阵。如果要考虑这两个空间之间的随机线性映射，则应提出一个随机矩阵理论。 随机投影就是这样一个简单的例子。

此外，物理学中还有矩阵/张量值的对象。的粘性应力张量是一个这样的（除了一个真正的动物园）。在几乎均质的粘弹性材料中，对应变（弹性，粘滞性等）进行建模是有用的，因此可以将应力点向作为随机张量以小方差建模。尽管对此应力/应变具有“线性映射”意义，但将随机矩阵的这种应用描述为对已经是矩阵的事物进行随机化描述是更为诚实的。

压缩感测在图像处理中的应用依赖于随机矩阵作为2D信号的组合测量。这些矩阵的特定属性（即相干性）已为这些矩阵定义，并在理论中起作用。

经过严格简化，事实证明，将高斯矩阵和稀疏输入信号的乘积的L1范数最小化可以使您恢复比预期更多的信息。

我知道的该领域最著名的早期研究是莱斯大学的工作：http : //dsp.rice.edu/research/compressive-sensing/random-matrices

矩阵乘积作为“信号测量”的理论至少可以追溯到第二次世界大战。正如我的一位前矿工告诉我的那样，逐个测试每名入伍者是否患有梅毒是一项成本高昂的工作。以系统的方式将这些样本混合在一起（通过将每个血液样本的各个部分混合在一起并进行测试）将减少需要执行测试的次数。可以将其建模为随机二进制矢量乘以稀疏矩阵。