中位数在[Mode-Mean]之外的反例

此文章是我上面的联赛，但它谈论，我很感兴趣，之间的平均，模式和中位数的关系的话题。它说 ：

普遍认为，单峰分布的中值“通常”在均值和众数之间。但是，并非总是如此...

我的问题：有人可以提供中位数在[众数，均值]区间之外的连续单峰（理想情况下简单）分布的示例吗？例如的分布mode < mean < median。

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Glen_b和Francis已经有了很好的答案，但是我意识到我真正感兴趣的是一个示例，其中众数<均值<中位数或中位数<均值<模式（这两个中位数都在[众数，均值]之外，而中位数是与模式均值“在同一侧”（即高于或低于模式）。我可以接受这里的答案是一个新问题，或者有人可以在这里直接提出解决方案？

当然，不难发现示例-甚至是连续单峰示例-中位数不在均值和众数之间。

1. 考虑形式为的三角分布的 iidf T（t ）= 2 （1 − t ）1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   现在让是和的60-40混合物。T 1 − 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   的密度如下所示：$X$

   

   平均值小于0，众数为0，但中位数大于0。对此进行较小的修改将产生一个示例，其中即使是密度（而不只是cdf）也是连续的，但是位置度量之间的关系是相同（编辑：请参见下面的3.）。

2. 概括地说，让我们将总概率的比例（）放入右侧三角形，并将比例放入左侧三角形（代替0.6和0.4我们之前有过）。此外，将比例因子设为左半部分而不是（带有）：0 < p < 1 （1 - p ）- β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   现在假设，中位数将始终在直角三角形所覆盖的区间内，因此中位数将超过众数（始终保持为）。特别是，当，中位数将为。 0p>$p>\frac12$$0$ 1−1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   平均值将为。$(p - \beta(1-p))/3$

   如果则平均值将低于模式；如果则平均值将高于模式。β < p /（1 − p $\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   另一方面，我们希望将平均值保持在中位数以下。$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   考虑 ; 这会使中位数高于模式。$p=0.7$

   然后将满足因此均值在众数之上。β < p /（1 - p $\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   中位数实际上是而平均值是。因此，对于和，我们有众数<平均值<中位数。 0.7 - 2 （0.3 $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$p=0.7β=$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   （注：为了与我的符号保持一致，两个图的x轴上的变量都应为而不是但我不会回过头来对其进行修复。）$x$$t$

3. 这是密度本身是连续的示例。它基于上面1.和2.中的方法，但是用“斜率”替换为陡峭的斜率（然后整个密度翻转为0，因为我想要一个看起来右偏的示例）。

   

   [使用“三角形密度的混合物”的方法，可以为一体的三角形形式的3个独立的经缩放的变元的混合物在部分1中所描述我们现在有15％产生，60％和25％。] − 3 T 2 5 T $T_1$$-3T_2$$5T_3$

   正如我们在上图中所看到的，均值应要求位于中间。

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4. 请注意，m_t_在注释中提到了Weibull（对于形状参数的较小范围，其中位数在区间之外）。这可能是令人满意的，因为它是众所周知的具有简单功能形式的单峰连续（平滑）分布。$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   特别是，对于Weibull形状参数的较小值，分布是右偏，并且在模式和均值之间存在中值的常见情况，而对于Weibull形状参数的较大值，分布是左偏。 ，我们再次遇到“中间居中”的情况（但现在模式在右边而不是平均值）。在这两种情况之间是一个小区域，中位数在均值模式区间之外，中间是均值和众数交叉：

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   在上面标记为（1）和（2）的间隔中为shape参数选择方便的值-位置统计之间的差距大约相等的间隔-我们得到：

   

   尽管这些满足要求，但不幸的是，三个位置参数之间的距离非常近，以至于我们无法从视觉上区分它们（它们全部落在同一像素中），这有点令人失望-我前面示例中的情况更多分开。（尽管如此，它的确建议了要与其他分布一起检查的情况，其中某些分布可能会带来视觉上更加明显的结果。）

以下示例摘自Jordan Stoyanov的《概率的反例》。

给定正常数和，请考虑密度为的随机变量的平均，中位数和模式的可以发现注意仅当才是密度因此，如果让则。接近$c$$\lambda$$X$

$$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$$ $\mu$$m$$M$$X$f （x ）c $$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$$ $f(x)$c ^→1λ→2ç>111.0001μ>C ^中号=Ç米μ $$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$$ $c\to1$$\lambda\to2$$c>1$$1$（例如），我们可以发现和，因此中位数不在和之间。$1.0001$$\mu>c$$M=c$$m$$\mu$$M$

取速率参数为a且密度为0 <= x <无穷大的exp（-ax）的指数分布。模式为零。当然，平均值和中位数大于0。cdf为1-exp（-ax）。因此对于x的中位数求解exp（-ax）= 0.5。然后-ax = ln（0.5）或x = -ln（0.5）/ a。对于平均值，将ax exp（-ax）从0积分到无穷大。取a = 1，我们有一个中位数= -ln（0.5）= ln（2），平均值= 1。

因此，模式<中位数<平均值。