如果

我遇到了一个关于ARCH模型的属性的证明，该证明说，如果，则是固定的iff，其中ARCH模型是：{ X t } ∑ p i = 1 b i < $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

证明的主要思想是证明可以写为AR（p）进程，并且如果为真，则特征多项式的所有根都位于单位外部圈，因此是固定的。然后说是固定的。这是怎么回事？ ∑ p i = 1 b i < 1 { X 2 t } { X t$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

从给出的部分中，我了解到您如何看待平稳性意味着平稳性，但实际上它仅意味着的恒定方差。 X 吨X 吨$X^2_t$$X_t$ $X_t$

该证据的作者正在利用平稳性，通过观察无条件矩来完成他们较早提出的论点。 X $X^2_t$$X_t$

回顾阶平稳性条件：$2^{nd}$

1. ＆ForAll; 吨∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ 吨∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ ħ ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

条件1由证明$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

条件3通过$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

但是要证明第二个条件，他们需要证明一个恒定的无条件方差$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

这就是导致假设平稳的假设，您已经提到使用其形式。简而言之： 如果X ^ 2_t是固定的，则多项式的根将位于单位圆之外，并且这使得可能写： A R （p ）V a r （X t）= E （V a r （X t）| F t − 1）+ V a r （E （X t | F t − 1））= E （V a r （u t | F t − $X^2_{t}$$AR(p)$ Σb我<1v一个[R （X吨-1）=。。。=var（Xt−p）= b

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$