大数律何时失效？

问题很简单，标题是什么： 大数定律何时失效？ 我的意思是，在什么情况下事件的发生频率不会趋于理论概率？

有（Kolmogorov的）两个定理，并且都要求期望值是有限的。当变量为IID时，第一个成立；当采样独立且的方差满足时，第二个成立$X_n$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

假设所有期望值为0，但它们的方差为因此条件显然失败了。那会发生什么呢？您仍然可以计算估计的均值，但是随着您采样的越来越深，该均值将不会趋向于0。当您继续采样时，它往往会越来越偏离。n $X_n$$n^2$

让我们举个例子。假设是统一的那么上面的条件会导致失效。 ù （- ñ 2 Ñ，Ñ 2 Ñ$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

通过注意

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

通过归纳，我们可以看到，计算出的平均值始终在区间。通过使用相同的公式为，我们也看到，总有一个机会大于即位于外侧。实际上，是统一的并位于的概率为。另一方面，通过归纳法在，并且对称地以概率为正。（- 2 Ñ，2 Ñ）Ñ + 1 1 / 8 ˉ X Ñ + 1（- 2 Ñ，2 Ñ）X Ñ + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$（-2Ñ，2Ñ）1/$\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$。从这些观察中可以立即得出大于或小于的可能性，每个概率都大于。由于大于，因为趋于无穷大，所以不能收敛到0 。2ñ-2Ñ1/16| ˉ X Ñ+1| >2Ñ1/8$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

现在，具体回答你的问题，考虑一个事件。如果我理解得很好，您会问：“以下陈述在什么情况下是错误的？”$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

其中是事件的指标函数，即如果则，否则为，并且相同地分布（并像一样分布）。$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

我们看到上面的条件将成立，因为指标函数的方差在1/4之上，这是Bernouilli 0-1变量的最大方差。仍然会出错的是大数定律的第二个假设，即独立采样。如果随机变量未被独立采样，则无法确保收敛。$X_k$

例如，如果对于所有 =，则该比率将为1或0，无论的值如何，因此都不会发生收敛（除非当然具有0或1的概率）。这是一个虚假的极端例子。我不知道在实际情况下不会收敛到理论概率。但是，如果采样不是独立的，则存在潜力。$X_k$$X_1$$k$$n$$A$