标准差的三角运算

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正常随机变量的加法，减法，乘法和除法得到了很好的定义，但是三角运算又如何呢？

例如，让我们假设我正在尝试找到两个楔形的角度（建模为直角三角形），两个导管的尺寸分别为 $d_1$ 和 $d_2$ ，均被描述为正态分布。

直觉和模拟都告诉我，结果分布是正态的，平均。但是，有一种方法可以计算出角度的分布吗？我在哪里找到答案的参考？ $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

（在某种程度上，我正在研究机械零件的统计公差。我的第一个冲动是简单地模拟整个过程，检查最终结果是否合理正常，然后计算标准偏差。但是我想知道如果可以使用更整洁的分析方法。）

distributions normal-distribution circular-statistics saddlepoint-approximation

— Bossykena
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2

您能否确认（a）d1和d2是边长（而不是角度）？（b）您假设它们之间的角度是直角（否则atan公式是可疑的）；（c）您对这个直角三角形的另一个角度的分布感兴趣吗？另外，大概每个长度分布的SD都比其预期值小得多，因为三角形不应有任何明显的负边长概率（-）。

— ub

精确。我对问题进行了重新表述，以使其更加清楚。是的，SD相对于尺寸会很小。

— Bossykena

使用公式进行乘法和加法，可以尝试泰勒展开。

感谢您的两个出色回答（就我个人有限的统计专业知识而言），这既直观又合理。

— Bossykena

Answers:

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在这个解释中，三角形是侧的直角三角形的长度和分布式binormally与预期和，标准偏差和，和相关。我们寻求的分布。为此，标准化和以便 $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

和

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

与和与相关标准正常分布随机数。设为角度，为方便起见，写。然后 $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

左手侧，作为法线的线性组合，是正常的，与均值和方差。 $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

将这些参数的法线cdf相对于微分，得出角度的pdf。该表达式相当令人讨厌，但其中的关键部分是指数 $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

立即显示该角度不是正态分布。但是，正如您的模拟显示和直觉所暗示的那样，如果边长的长度与长度本身相比变化较小，则应该近似正常。在这种情况下一个鞍点逼近应服从于特定值良好的结果，，，，和，即使封闭形式一般的解决方案是不可用的。找到二阶导数（相对于 $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ）的对数（如参考文献的公式（2.6）和（3.1）所示）。我建议使用计算机代数系统（例如MatLab或Mathematica）来实现！

— ub
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1

它从来没有机会被正常分发。这是一个角度！只需要在值

。

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— 罗比·麦基利姆

1

P（Y / X

Q）= P（Y

QX）是不正确的，如果X是一个正常的RV - X 可以是负的太。

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— 罗纳夫

@ronaf：事实上，因为

和

是物理三角形的边长，我们应该不会有负面

！

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef 2010年

2

@ronaf：那是正确的想法。如果一个用途签署的边长，并且还考虑了角为实值（而不是其值模

），有一个与在任一情况下正常没有不一致性。关于不平等可能是错误的观点非常出色。作为回应，我可以做的只是断言，在所假设的条件下，该方程式是极好的近似值，因为X或Y为负的可能性微不足道。

2 π

$2\pi$

— Whuber

1

@YBE我同意表达式中的最后一个“ +”看起来不属于它-在清理TeX标记时可能已经插入了。我没有参考，因为我自己计算了导数。

— whuber

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您正在查看循环统计数据，尤其是循环分布，称为投影正态分布。

出于某种原因，这个主题可能很难用Google搜索，但是关于循环统计的两个主要文本是Fisher 的《循环数据的统计分析》和 Mardia和Jupp的Directional Statistics。

有关预计正态分布的全面分析，请参阅Mardia和Jupp的第46页。分布有闭合形式的表达式（直到误差函数积分为止），并且如whuber所建议的那样，当它的“方差”（注意这里，方差对圆上的随机变量有何意义）时，它看起来与法线相似。！）小，即当分布完全集中在一个点（或方向或角度）时。

— 罗比·麦基利姆（Robby McKilliam）
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