对称分布的中心时刻

我试图证明对称分布的中心矩： 对于奇数是零。因此，例如，第三中心矩我首先尝试显示我不确定从这里去哪里，有什么建议吗？有没有更好的方法来证明这一点？

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

这个答案旨在进行尽可能基本的演示，因为这样的事情经常涉及基本思想。该只需要（超越了最简单的代数运算的）事实是集成的线性度（或等价地，期望的），变量公式为积分的变化，公理结果，一个PDF整合统一。

激励该演示的直觉是，当关于对称时，则任何数量对期望的贡献将与数量具有相同的权重因为和上的相对侧上和同样远非如此。然后，假设所有，则所有内容都将抵消并且期望值必须为零。和之间的关系是我们的出发点。$f_X$$a$$G(x)$$\mathbb{E}_X(G(X))$$G(2a-x)$$x$$2a-x$$a$$G(x) = -G(2a-x)$$x$$x$$2a-x$

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注意，通过写，对称也可以由关系表示$y = x + a$

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

对于所有。对于任何可测量的函数，变量从到更改将更改为，同时反转积分方向，这意味着$y$$G$$x$$2a-x$$dx$$-dx$

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

假设存在这种期望（即积分收敛），则积分的线性意味着

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

考虑关于的奇数矩，其定义为的期望，。在这些情况下$a$$G_{k,a}(X) = (X-a)^k$$k = 1, 3, 5, \ldots$

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

正是因为是奇数。应用前面的结果给出$k$

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

因为右手边是关于第个矩的两倍，所以除以表示该矩在存在时为零。$k$$a$$2$

最后，均值（假设存在）为

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

再次利用线性，并回想因为是概率分布，我们可以重新排列最后一个等式以读取$\int f_X(x)dx=1$$f_X$

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

具有唯一的解决方案。因此，我们之前关于所有矩的计算实际上都是中心矩QED。$\mu_X = a$$a$

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邮编

需要在多个地方除以的事实与以下事实有关：存在一组作用于可测量函数的阶（即，由周围的线中的反射生成的组）。更一般地，对称性的思想可以推广到任何群体的行动。群体表征理论暗示，当角色$2$$2$$a$对一个函数的作用并不平凡，它与平凡的字符正交，这意味着该函数的期望值必须为零。正交关系涉及在组上添加（或积分），从而组的大小始终以分母形式出现：基数有限时的基数或紧实时的体积。

在具有明显对称性的应用程序中，例如在以苯分子（具有12个元素对称基团）为例的对称系统的机械（或量子力学）运动方程中，这种概括的优点变得显而易见。（这里的QM应用程序最相关，因为它显式地计算期望值。）只需通过了解与实物相关的特征，就可以用不超过这里涉及的工作来计算自然利息的值（通常涉及张量的多维积分）。被积物。例如，可以使用这种方法从头确定各种对称分子的“颜色”（它们在各种波长下的光谱）。