无限随机几何图中随机行走的机器人的密度

考虑一个无限随机的几何图，其中节点位置遵循密度为的泊松点过程，并且边距比更近。因此，边的长度遵循以下PDF：$\rho$$d$

在上图中，考虑半径的圆内以原点为中心的节点。假设在时间，我们在每个提到的节点内放置了一个微型机器人。也就是说，飞机上机器人的密度由下式给出：吨= $r$$t=0$

在每个时间步上，机器人都会随机走近一个邻居。

现在，我的问题是：在，机器人的密度函数是多少？时可以计算密度函数吗？t → $t>0$$t \rightarrow \infty$

抱歉，我绝对不是数学家。如果有任何不清楚的地方，请告诉我。

这是一个开始。

令为您正在考虑的球的半径。$r = d/2$

首先，阅读随机游走的文章：http : //en.wikipedia.org/wiki/Random_walk。假设您只有一个机器人，并假设您的随机游走是在二维晶格上。对于小，这很容易通过矩阵乘法计算。您知道，在晶格中只有n = 1 + 4 t + 2 t （t − 1 ）个可能的点，您可以在t步之后踩上或着陆。令A t为这n个顶点的n × n邻接矩阵。让Ë $t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$是所有的矢量0小号除了一个1在我个斑点。假设 A t的第一行（和列）对应于原点。然后，概率，你是在顶点我后吨步骤是 ë ' 1 ，吨甲吨吨 é 我，吨（其中的主要手段转置，和甲吨 =甲×甲⋯×$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$是提升到第t次方）。我很确定您应该能够明确解决此问题。您可以使用这样一个事实，即距L 1范数与原点距离相同的所有事物都应具有相同的密度。$A$$t$$\cal L_1$

预热后，让我们继续您的原始问题。经过步之后，您只需要考虑围绕原点的半径r （t + 1 ）球以内的有限图（其他任何地方，仅在t时刻即可到达的概率为$t$$r(t+1)$$0$$t$脚步）。尝试制作该图的邻接矩阵并以与格格情况相同的方式使用它-我不知道该怎么做，但是我想那里有一些马尔可夫理论可以为您提供帮助。您可以利用我们的一件事，即您知道此分布必须围绕原点对称，特别是密度仅是距原点距离的函数。这应该使事情变得容易，所以您需要考虑的是t步后距原点距离的概率。解决此问题后，请在t步f t（x之后，在位置（x ，y ）处调用密度$q$$t$$(x,y)$$t$。注意 f t将是 r的函数。令 X为从该分布采样的随机变量。$f_t(x,y)$$f_t$$r$$X$

现在，您还需要考虑从多个机器人开始。假设允许多个机器人位于同一顶点，这不会比一个机器人案例难得多。机器人可在圆均匀地开始，呼叫被均匀地采样这个圆随机变量。开始时会有一定数量的泊松机器人，令M为从此泊松分布中采样的随机变量。所以，如果多个机器人获得密度仅仅是中号ü + X。$U$$M$$MU + X$

我认为这是解决方案的合理起点，只是我没有完全定义的分布。祝你好运，问题整洁。$X$