两个普通乘积之和是拉普拉斯？

它显然是的情况下，如果 $X_i \sim N(0,1)$ ，然后

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

我看过关于任意二次形式的论文，这些总是导致可怕的非中心卡方表达式。

上面的简单关系对我来说似乎一点都不明显，所以（如果是真的！）有人能简单证明上面的关系吗？

— 科隆
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使用分布之间的众所周知的关系和简单的代数极化身份的基本步骤序列提供了基本直观的演示。

我发现，这种极化恒等式通常可用于推理和计算随机变量的乘积，因为它将其简化为平方的线性组合。这有点像先对角线化处理矩阵。（这里不只是表面上的联系。）

拉普拉斯分布是两个指数的差（直观上讲是有道理的，因为指数是“半拉普拉斯”分布）。（该链接通过操纵特征函数来说明这一点，但是可以通过将差定义为卷积来使用基本积分来证明这种关系。）

指数分布（本身是分布）也是分布（的缩放版本。比例因子为。通过比较两个分布的PDF可以很容易看出这一点。 $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ 分布自然是作为iid正态分布的平方和得到的（均值为零）。自由度计算总和中正态分布的数量。 $2$

代数关系

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

展品在四个分布，其中每一个是标准法线的线性组合的正方形的条款。容易检查所有四个线性组合是否线性独立（并且每个遵循正态分布）。因此，前两个项将均值零的两个相同分布的正态分布的平方和相加，形成缩放的分布（及其缩放因子正是使它成为指数分布所需要的），并且出于相同的原因，后两个项也分别具有指数分布。 $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

因此，是两个独立的指数分布的差，具有（标准）拉普拉斯分布。 $X_1X_2+X_3X_4$

— ub
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那绝对令人愉快！

— Corone 2013年

我刚刚注意到，另一个基于矩生成函数的答案出现在stats.stackexchange.com/a/51717/919：看到中间的段落“偶然地”（Laplace分布的另一个名称是“双指数”））。该主题涉及MGF对本问题的概括。

— ub

很好的推导，但是您怎么知道两个独立的指数分布变量的差具有拉普拉斯分布呢？

— HelloGoodbye

@Hello，请点击链接：转到Wikipedia文章，其中包括简短的演示。

— ub

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— 迈克尔·M
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