联合MGF独立的充要条件

假设我有一个联合矩生成函数用于CDF的联合分布。是两个必要的和足够的用于独立条件和？我检查了几本教科书，只提到了必要性：$M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$

$$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$$

该结果很明显，因为独立性意味着。由于边际的MGF由联合MGF决定，我们具有：$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

$$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

但是在网上搜索后，我发现相反的情况只是短暂的参考，没有证据。以下草图证明可行吗？

给定联合MGF，这唯一地确定和及其MGF 的边际分布， 和。仅边际与许多其他可能的联合分布兼容，并且唯一地确定和独立的联合分布，其中CDF和MGF：$M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

因此，如果我们得到原始MGF的，则为足以显示。然后根据MGF的唯一性，我们原始的联合分布为和和是独立的。$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

是的，这不仅是两个随机变量而且是（有限）随机变量序列独立的必要和充分条件。例如，Rinaldo B. Schinazi撰写的《概率论与统计应用》第242页的P.2 。或基于概率生成函数的计数数据计量经济学分析的第259页 。只需注意“力矩生成功能并不总是存在”。