分位数回归估计器公式

我已经看到了分位数回归估计量的两种不同表示形式，分别是

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

和

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

其中。有人可以告诉我如何显示这两个表达的对等吗？这是我到目前为止尝试过的，从第二个表达式开始。 $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

但从这一点上，我就死在如何进行。请不要说这不是家庭作业或作业问题。非常感谢。

\begin{aligned} Q （ β_{q} ） & = \sum_{一世 = 1个}^{ñ} ü_{一世} （ q - 1个 （ ü_{一世} < 0 ） ） （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \\ = \sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） （ q - 1个 （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} < 0 ） ） （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \\ = [\sum_{一世 ： ÿ_{一世} \geq X_{一世}^{'} β}^{ñ} （ q （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） ） + \sum_{一世 ： ÿ_{一世} < X_{一世}^{'} β}^{ñ} （ q （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） - （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） ）] （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$

proof quantile-regression equivalence

— 亚历克斯
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如果你还记得，在残差平方OLS最小化总和，而中位数回归最小化绝对残差的总和。中位数或最小绝对偏差（LAD）估计量是分位数回归的一种特殊情况，其中。在分位数回归中，我们最小化了绝对误差之和，该绝对误差得到了过高预测和不对称权重 $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ 对于低估。您可以从LAD表示形式开始，然后将其扩展为由和给定的值加权的数据的分数之和，并按以下方式进行处理： $q$ $(1-q)$ $u_i$

这只是使用以下事实：，然后就可以重新写指示符函数作为满足观测的总和指标条件。这将为您写下分位数回归估计量的第一个表达式。

\begin{aligned} ρ_{q} （ ü ） & = 1个 （ ü_{一世} > 0 ） q ∣ ü_{一世} ∣ + 1个 （ ü_{一世} \leq 0 ） （ 1个 - q ） ∣ ü_{一世} ∣ \\ = 1个 （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} > 0 ） q ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ + 1个 （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} \leq 0 ） （ 1个 - q ） ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{一世 ： ÿ_{一世} > X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} q ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ 1个 - q ） ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} > X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ + （ 1个 - q ） \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} ∣ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} > X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） - （ 1个 - q ） \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \\ = q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} > X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） - \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） + q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \\ = q \sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） - \sum_{一世 = 1个}^{ñ} 1个 （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} \leq 0 ） （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） \\ = \sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ q - 1个 （ ü_{一世} \leq 0 ） ） ü_{一世} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

$y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} > X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） + q \sum_{一世 ： ÿ_{一世} \leq X_{一世}^{'} β_{q}}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ） = \sum_{一世 = 1个}^{ñ} （ ÿ_{一世} - X_{一世}^{'} β_{q} ）

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$

— 安迪
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