不存在力矩时的CLT示例

考虑 $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

我需要证明，即使有无限的瞬间，

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

我试图通过使用Levy连续性定理来证明这一点，即试图证明左侧的特征函数收敛于标准法线的特征函数。但是，这似乎无法显示。

针对此问题的提示是截断每个，即让并使用Lindeberg条件显示。 $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

但是，我无法证明Lyapunov条件得到满足。这主要是因为行为不像我希望的那样。我希望仅采用值-1和1，但是，按照其构造方式，它可以采用值 $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— 格林帕克
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如果要在截断，请仔细检查最后一段，以了解截断变量可以采用的值。无论如何，请尝试将其截断为，使用Borel-Cantelli，然后使用Slutsky来获得结果。您应该可以在截断的片段上使用Lindeberg或Lyapunov（尽管我实际上并未对此进行检查）。

n

$n$

1

$1$

— 主教

对于那个很抱歉。将其更改为“无限”的时刻

— Greenparker 2014年

@cardinal我再次检查了可以取的可能值，并在对数项下添加了下限。否则，这些值似乎正确。如果我将其截断为1，我将获得所需的，并将能够应用Lindeberg条件来使法线收敛。但是，我看不出这将如何暗示正常收敛

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker 2014年

什么是“ ”？您尚未描述一个上下文，在该上下文中每个都有样本或多个实例，因此，给定问题中提到的内容，关于此符号的唯一可能的解释是，它引用，即总是无限的，是数字，而不是分布。因此，我们必须想象您正在考虑 iid样本，但是您需要告诉我们这一点，尤其需要规定样本大小。

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— ub

这是基于@cardinal的评论的答案：

令样本空间为和的随机过程路径，其中让。满足以下条件的Lindeberg条件（符合Wikipedia的表示法）：对于任何为只要 $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1个}{s_{ñ}^{2}} \sum_{一世 = 0}^{ñ} Ë （ ÿ_{一世}^{2} {1个}_{{| ÿ_{一世} | > ϵ s_{ñ}^{2}}} ） \leq \frac{1个}{s_{ñ}^{2}} \sum_{一世 = 0}^{ñ} P （ | ÿ_{一世} | > ϵ s_{ñ}^{2} ） \to 0 ，

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

由于所以我们还拥有Borel-Cantelli的，因此。换句话说，和几乎肯定几乎总是有限地不同。 $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

定义并等效地为。选择的样本路径，使得仅适用于有限的多个。用索引这些术语。从此路径还要求中的是有限的。对于这样的路径，其中。此外，对于足够大的， $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

使用Borel-Cantelli结果以及几乎肯定是有限的事实，我们看到样本路径服从我们的要求的概率为1。换句话说，不同的术语几乎可以肯定地变为零。因此，根据Slutsky定理，对于足够大的，其中。 $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— 埃克瓦尔
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