Kolmogorov–Smirnov检验有一个简单的等效检验版本吗？

是否对Kolmogorov-Smirnov检验设计了两个等效的单面检验（TOST），以检验两个分布至少相差某个研究人员指定水平的否定主义原假设？

如果不是TOST，那么是否进行其他形式的等效测试？

尼克·斯汤纳（Nick Stauner）明智地指出，（我应该已经知道;）还有其他非参数TOST等价检验，用于随机等价的零假设，并且在更严格的假设下，还包括中位数等价物。

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— 亚历克西斯
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相关：非正常数据的等效性测试？

— 尼克·斯汤纳

好的，这是我的第一次尝试。仔细审查和评论表示赞赏！

二样本假设
如果我们可以对两样本单边Kolmogorov-Smirnov假设检验进行框架化，则可以沿着这些直线使用零假设和替代假设：

H，和 $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H，至少持续一个，其中： $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

测试统计量对应于H； $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
测试统计量对应于H；和 $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ 和是样本和的经验CDF， $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

那么就应该沿着这些直线为等价检验创建一个一般的区间假设（假设当前的等价区间是对称的）：

H，和 $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H，至少持续。 $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

这将转化的特定双单侧“否定”零假设来测试等价（这两个假设采取相同的形式，因为既和是严格非负）： $D^{+}$ $D^{-}$

H，或 $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H。 $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

拒绝两个 ħ和 ħ将导致一个得出这样的结论。当然，等价区间不必是对称的，对于各自的单面零假设，和可以替换为（下）和（上）。 $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

检验统计量（更新：增量是绝对值符号外）
的测试统计和（离开和隐含的）分别对应于H和H，分别是： $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ 和

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

等价/相关性阈值如果使用非对称等价间隔，则
间隔或以和为单位表示或不同概率的大小。作为和的方法无穷大，的CDF 或为接近为，以及用于： $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $（或$ D ^ {-} $）的CDF$

因此我认为对于样本大小缩放的PDF（或样本大小缩放）必须是为，以及用于： $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $（或$ D ^ {-} $）的PDF$

Glen_b指出，这是具有的瑞利分布。因此，样本规模缩放的和的大样本分位数函数为： $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

而的自由选择可能是临界值，更严格的选择是临界值。 $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— 亚历克西斯
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在您从cdf传递到pdf的那一行中，我认为您错了。令，所以（滥用表示法），在极限。然后（注意之后的）。（请注意在取导数上方的行中的指数中缺少一个符号。同样我不确定为什么在那儿有一个积分符号，但也许我误解了。）

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@stochazesthai和是两个单方面的测试统计信息。对于TOST，您需要同时拒绝这些检验统计信息适用的所有零假设。是上一行CDF的临界值，您想在其中用代替（例如）。的选择取决于在得出相关差异（例如，自由的“等效性”为之前）需要经过（对于普通的旧实证主义者的临界拒绝值）有多远。

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ 超出）。

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— 亚历克西斯

@stochazesthai（继续），所以如果这两个 和，那么你拒绝。

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— 亚历克西斯

@stochazesthai哎呀！我应该在引号后面加上“ 自由 ”一词，而不是等价地再加上两个评论。:)

— 亚历克西斯（Alexis）2015年

@stochazesthai如果，则拒绝，如果，则无法拒绝。如果，则拒绝；如果，则无法拒绝。如果同时拒绝和，则拒绝，否则无法拒绝。

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— 亚历克西斯

等值测试中TOST的替代方法基于置信区间方法：

令表示预定的等价裕度和未知基础分布函数之间的Kolmogorov-Smirnov距离。 $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

现在，如果的90％置信区间完全在，那么我们可以95％地确定足够接近于0来表示“等效性”。 $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

在不知道基本分布的情况下，似乎无法获得近似的分析置信区间，因此我们可能需要基于对和重采样，依靠（经偏置校正）自举置信区间。（不过，我不想在此特定应用程序中找到其有效性的条件...） $X$ $Y$

— 迈克尔·M
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优秀。您是否引用任何接受的CI （引导程序或其他方法）的人？

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— 亚历克西斯

好点...简短的论文tomswebpage.net/images/K-S_test.doc提到“ David J.Sheskin撰写的第五版参数和非参数统计程序手册（2011年4月27日）”。为D提供两个样本的案例解释。但是目前，我没有这本书的访问权限。

— Michael M