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设X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2, . . . , X_n是具有pdf的iid随机变量 fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x) 其中θ>0θ>0\theta >0。给出1的UMVUE1θ1θ\frac{1}{\theta}并计算其方差 我了解了两种用于获得UMVUE的方法： 克莱默罗下界（CRLB） 莱曼-舍夫·特莱姆 我将尝试使用两者中的前者。我必须承认，我不完全了解这里发生的事情，而我的尝试解决方案是基于一个示例问题。我有一个fX(x∣θ)fX(x∣θ)f_X(x\mid\theta)是一个完整的单参数指数族与 h(x)=I(0,∞)h(x)=I(0,∞)h(x)=I_{(0,\infty)}，c(θ)=θc(θ)=θc(\theta)=\theta，w(θ)=−(1+θ)w(θ)=−(1+θ)w(\theta)=-(1+\theta)，t(x)=log(1+x)t(x)=log(1+x)t(x)=\text{log}(1+x) 由于w′(θ)=1w′(θ)=1w'(\theta)=1在ΘΘ\Theta上不为零，因此适用CRLB结果。我们有 log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x) ∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x) ∂2∂θ2log fX(x∣θ)=−1θ2∂2∂θ2log fX(x∣θ)=−1θ2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2} 所以I1(θ)=−E(−1θ2)=1θ2I1(θ)=−E(−1θ2)=1θ2I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2} 和CRLB为的无偏估计τ(θ)τ(θ)\tau(\theta)是 [τ′(θ)]2n⋅I1(θ)=θ2n[τ′(θ)]2[τ′(θ)]2n⋅I1(θ)=θ2n[τ′(θ)]2\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2 由于∑i=1nt(Xi)=∑i=1nlog(1+Xi)∑i=1nt(Xi)=∑i=1nlog(1+Xi)\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i) 那么∑ni=1log(1+Xi)∑i=1nlog(1+Xi)\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)任何线性函数，或者等效地，1的任何线性函数1n∑ni=1log(1+Xi)1n∑i=1nlog(1+Xi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)，将达到其期望的CRLB，因此将成为其期望的UMVUE。由于E(log(1+X))=1θE(log(1+X))=1θ\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}我们的UMVUE为1θ1θ\frac{1}{\theta}是1n∑ni=1log(1+Xi)1n∑i=1nlog(1+Xi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i) 对于天然的参数，我们可以让η=−(1+θ)⇒θ=−(η+1)η=−(1+θ)⇒θ=−(η+1)\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1) …