关于概率收敛
让{Xn}n≥1{Xn}n≥1\{X_n\}_{n\geq 1}是随机变量ST的序列Xn→aXn→aX_n \to a在概率，其中a>0a>0a>0是固定不变的。我正在尝试显示以下内容： Xn−−−√→a−−√Xn→a\sqrt{X_n} \to \sqrt{a} 和 aXn→1aXn→1\frac{a}{X_n}\to 1 的概率均相同。我在这里看看我的逻辑是否正确。这是我的工作 尝试 对于第一部分，我们有 |Xn−−−√−a−−√|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn−−−√+a−−√|=ϵ|(Xn−−−√−sqrta)+2a−−√||Xn−a|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xn−sqrta)+2a||\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}| ≤ϵ|Xn−−−√−a−−√|+2ϵa−−√<ϵ2+2ϵa−−√≤ϵ|Xn−a|+2ϵa<ϵ2+2ϵa\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a} 注意， ϵ2+2ϵa−−√>ϵa−−√ϵ2+2ϵa>ϵa\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a} 则 P(|Xn−−−√−a−−√|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa−−√)→1asn→∞P(|Xn−a|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa)→1asn→∞P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty ⟹Xn−−−√→a−−√inprobability⟹Xn→ainprobability\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability 对于第二部分，我们有 现在，由于 X n → a为 n → ∞，我们得到 X n是有界序列。换句话说，存在一个实数中号< ∞ ST | X n | ≤ 中号。因此， | …