统计数据的图形直观
在这篇文章中，您可以阅读以下声明： 模型通常由有限维流形上的点表示。θθ\theta 在迈克尔·K·默里和约翰·赖斯的《微分几何与统计》中，这些概念以散文可读的方式进行了解释，甚至忽略了数学表达式。不幸的是，很少有插图。MathOverflow上的帖子也是如此。 我想寻求视觉表示的帮助，以作为对主题进行更正式理解的地图或动机。 歧管上有什么要点？此在线查找中的引号似乎表明它可以是数据点，也可以是分布参数： 流形和信息几何的统计是差分几何满足统计的两种不同方式。在流形统计中，数据位于流形上，而在信息几何中，数据位于RnRnR^n，但是将感兴趣的概率密度函数的参数化族视为流形。这样的流形被称为统计流形。 我画这个图由切空间的这种解释的启发在这里： [ 编辑以反映以下有关的评论：C∞C∞C^\infty ]在流形，切线空间是与相关的点上所有可能的导数（“速度”）的集合。流经的流形上的所有可能曲线这可以看作是从每条曲线穿过一组映射即定义为组成，用表示曲线（从实线到歧管表面的函数(M)(M)(\mathcal M)p∈Mp∈Mp\in \mathcal M(ψ:R→M)(ψ:R→M)(\psi: \mathbb R \to \mathcal M)p.p.p.p,p,p,C∞(t)→R,C∞(t)→R,C^\infty (t)\to \mathbb R,(f∘ψ)′(t)(f∘ψ)′(t)\left(f \circ \psi \right )'(t)ψψ\psiMM\mathcal M）穿过点并在上图中以红色表示；和表示一个测试功能。“ iso- ”白色轮廓线映射到实线上的同一点，并围绕点。p,p,p,˚F pf,f,f,fffppp 等价（或施加到统计等价中的一个）进行了讨论这里，和将涉及以下引用： 如果指数族的参数空间包含维开放集，则称其为满秩。sss 不是满秩的指数族通常被称为弯曲指数族，因为通常参数空间是维度小于的曲线小号。RsRs\mathcal R^ss.s.s. 这似乎使得对图的解释如下：分布参数（在这种情况下是指数分布族）位于流形上。在秩不足的非线性优化问题的情况下，的数据点将通过函数映射到流形上的一条线。这将与物理学中的速度计算并行：沿着“ iso-f”线的梯度寻找函数的导数（橙色的方向导数）：函数将起到优化分布参数选择的作用，如曲线 ψ ：- [R → 中号 ˚F （˚F ○ ψ ） '（吨）。˚F ：中号 → [R ψ …