Questions tagged «umvue»

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为什么我们对正态分布的使用有偏差和误导性的标准偏差公式?
第一次进行正态分布蒙特卡洛模拟时,我感到有些震惊,发现个样本的标准偏差的平均值(样本大小均为n = 2)要小得多比,即平均\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}倍,即用于生成总体的\ sigma。但是,这是众所周知的,如果很少记起,并且我确实知道,或者我不会进行模拟。这是一个模拟。100100100100100100√n = 2ñ=2n=2 σ2π--√2π \sqrt{\frac{2}{\pi }}σσ\sigma 这是一个使用100,n = 2,\ text {SD}和\ text {E}(s_ {n = 2})= \ sqrt \的估计量来预测N(0,1)的 95%置信区间的示例frac {\ pi} {2} \ text {SD}。ñ(0 ,1 )ñ(0,1个)N(0,1)n = 2ñ=2n=2标清标清\text{SD}Ë (小号n = 2)= π2--√标清Ë(sñ=2)=π2标清\text{E}(s_{n=2})=\sqrt\frac{\pi}{2}\text{SD} RAND() RAND() Calc Calc N(0,1) N(0,1) SD …

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的pdf
假设来自其中和未知X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2,...,X_nN(μ,σ2)N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)μ∈Rμ∈R\mu \in \mathcal Rσ2>0σ2>0\sigma^2>0 令 S是此处的标准偏差。Z=X1−X¯S,Z=X1−X¯S,Z=\frac{X_1-\bar{X}}{S}, 可以看出 具有Lebesgue pdfZZZ f(z)=n−−√Γ(n−12)π−−√(n−1)Γ(n−22)[1−nz2(n−1)2]n/2−2I(0,(n−1)/n√)(|Z|)f(z)=nΓ(n−12)π(n−1)Γ(n−22)[1−nz2(n−1)2]n/2−2I(0,(n−1)/n)(|Z|)f(z)=\frac{\sqrt{n} \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}(n-1)\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)}\left[1-\frac{nz^2}{(n-1)^2}\right]^{n/2-2}I_{(0,(n-1)/\sqrt{n})}(|Z|) 然后我的问题是如何获取此pdf? 问题是从示例3.3.4中的此处开始,以找到的UMVUE 。我可以理解找到UMVUE的逻辑和过程,但不知道如何获取pdf。P(X1≤c)P(X1≤c)P(X_1 \le c) 我认为这个问题也涉及到这一个 非常感谢您的帮助,或指向任何相关参考文献也将适用。
15 self-study  umvue 

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我怎么知道选择哪种参数估计方法?
那里有很多用于参数估计的方法。MLE,UMVUE,MoM,决策理论等似乎都具有合理的理由说明为什么它们可用于参数估计。是任何一种方法都比其他方法更好,还是仅取决于我们如何定义“最佳拟合”估计量(类似于最小化正交误差如何与普通最小二乘法产生不同的估计值)?

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上UMVUE的存在和选择的估计的在人口
让是从绘制的随机样本人口其中。(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)N(θ,θ2)N(θ,θ2)\mathcal N(\theta,\theta^2)θ∈Rθ∈R\theta\in\mathbb R 我正在寻找的UMVUE 。θθ\theta 联合密度为(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n) fθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2π−−√exp[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π−−√)nexp[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π−−√)nexp[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nx2i−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈Rfθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2πexp⁡[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp⁡[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp⁡[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈R\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right] \\&=g(\theta,T(\mathbf x))h(\mathbf x)\qquad\forall\,(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\,,\forall\,\theta\in\mathbb R \end{align} ,其中和h(\ mathbf x)= 1。h(x)=1g(θ,T(x))=1(θ2π√)nexp[1θ∑ni=1xi−12θ2∑ni=1x2i−n2]g(θ,T(x))=1(θ2π)nexp⁡[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]g(\theta, T(\mathbf x))=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right]h(x)=1h(x)=1h(\mathbf x)=1 在这里,ggg取决于θθ\theta和x1,⋯,xnx1,⋯,xnx_1,\cdots,x_n到T(x)=(∑ni=1xi,∑ni=1x2i)T(x)=(∑i=1nxi,∑i=1nxi2)T(\mathbf x)=\left(\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i^2\right)并且hhh独立于θθ\theta。因此,通过Fisher-Neyman分解定理,二维统计量T(X)=(∑ni=1Xi,∑ni=1X2i)T(X)=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T(\mathbf X)=\left(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nX_i^2\right)足以满足θθ\theta。 但是,TTT不是一个完整的统计信息。这是因为Ëθ⎡⎣2 (∑我= 1ñX一世)2− (n + 1 )∑我= 1ñX2一世⎤⎦= 2 n (1 + n )θ2- (Ñ + 1 )2 Ñ θ2= 0∀θEθ[2(∑i=1nXi)2−(n+1)∑i=1nXi2]=2n(1+n)θ2−(n+1)2nθ2=0∀θE_{\theta}\left[2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2-(n+1)\sum_{i=1}^nX_i^2\right]=2n(1+n)\theta^2-(n+1)2n\theta^2=0\qquad\forall\,\theta …

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找到独特的MVUE
该问题来自Robert Hogg的《数理统计入门》第六版问题7.4.9,第388页。 令用pdf在其他地方为零,其中。X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nf(x;θ)=1/3θ,−θ&lt;x&lt;2θ,f(x;θ)=1/3θ,−θ&lt;x&lt;2θ,f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta0 (a)求MLE的θ^θ^\hat{\theta}θθ\theta (b)足够用于统计?为什么呢θ^θ^\hat{\theta}θθ\theta (c)是的唯一MVUE 吗?为什么呢(n+1)θ^/n(n+1)θ^/n(n+1)\hat{\theta}/nθθ\theta 我想我可以解决(a)和(b),但是我对(c)感到困惑。 为一个): 令为订单统计信息。Y1&lt;Y2&lt;...YnY1&lt;Y2&lt;...YnY_10 因此,似然函数正在减小。L(θ;x)L(θ;x)L(\theta;x) 从和, 和 (−θ&lt;y1(−θ&lt;y1(-\theta< y_1 yn&lt;2θ)yn&lt;2θ) y_n < 2\theta)⇒⇒\Rightarrow (θ&gt;−y1(θ&gt;−y1(\theta>-y_1 θ&gt;yn/2),⇒θ&gt;max(−y1,yn/2)θ&gt;yn/2),⇒θ&gt;max(−y1,yn/2)\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2) L(θ,x)L(θ,x)L(\theta,x)被降低,因此,当具有samllest值似然函数将达到最大,因为,当,似然函数将达到最大值。θθ\thetaθ&gt;max(−y1,yn/2)θ&gt;max(−y1,yn/2)\theta>max(-y_1,y_n/2)θ=max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)\theta=max(-y1,y_n/2) ∴∴\therefore theremleθ^=max(−y1,yn/2)θ^=max(−y1,yn/2)\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2) 对于(b): f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ&lt;xi&lt;2θ)=1(3θ)nI(max(xi)&lt;2θ)×1f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏inI(−θ&lt;xi&lt;2θ)=1(3θ)nI(max(xi)&lt;2θ)×1f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta-\theta)\times 1 ∴∴\therefore通过Neyman的因式分解定理,对于是足够的统计量。因此,也是足够的统计信息。y1=min(xi)y1=min(xi)y_1=min(x_i)θθ\theta−y1−y1-y_1 对于(c): 首先,我们找到的CDFXXX F(x)=∫x−θ13θdt=x+θ3θ,−θ&lt;x&lt;2θF(x)=∫−θx13θdt=x+θ3θ,−θ&lt;x&lt;2θF(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta0 因此,pdf族已完成。Y1Y1Y_1 同样,仍然通过,我们可以证明pdf族是完整的。FTCFTCFTCYnYnY_n 现在的问题是,我们需要证明是无偏的。(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n} 当θ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1 E(−y1)=∫2θ−θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫2θ−θy1d(2θ−y1)nE(−y1)=∫−θ2θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫−θ2θy1d(2θ−y1)nE(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n 我们可以通过零件积分来求解积分 E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣−θ2θ−∫−θ2θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1} ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta 因此,当时,并非的无偏估计量(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1 当θ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2 E(Yn)=∫2θ−θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫2θ−θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θE(Yn)=∫−θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫−θ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣−θ2θ−∫−θ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θE(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta 不过,当时,并不是的无偏估计量(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2 …

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找到
设X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2, . . . , X_n是具有pdf的iid随机变量 fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x) 其中θ&gt;0θ&gt;0\theta >0。给出1的UMVUE1θ1θ\frac{1}{\theta}并计算其方差 我了解了两种用于获得UMVUE的方法: 克莱默罗下界(CRLB) 莱曼-舍夫·特莱姆 我将尝试使用两者中的前者。我必须承认,我不完全了解这里发生的事情,而我的尝试解决方案是基于一个示例问题。我有一个fX(x∣θ)fX(x∣θ)f_X(x\mid\theta)是一个完整的单参数指数族与 h(x)=I(0,∞)h(x)=I(0,∞)h(x)=I_{(0,\infty)},c(θ)=θc(θ)=θc(\theta)=\theta,w(θ)=−(1+θ)w(θ)=−(1+θ)w(\theta)=-(1+\theta),t(x)=log(1+x)t(x)=log(1+x)t(x)=\text{log}(1+x) 由于w′(θ)=1w′(θ)=1w'(\theta)=1在ΘΘ\Theta上不为零,因此适用CRLB结果。我们有 log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x) ∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x) ∂2∂θ2log fX(x∣θ)=−1θ2∂2∂θ2log fX(x∣θ)=−1θ2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2} 所以I1(θ)=−E(−1θ2)=1θ2I1(θ)=−E(−1θ2)=1θ2I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2} 和CRLB为的无偏估计τ(θ)τ(θ)\tau(\theta)是 [τ′(θ)]2n⋅I1(θ)=θ2n[τ′(θ)]2[τ′(θ)]2n⋅I1(θ)=θ2n[τ′(θ)]2\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2 由于∑i=1nt(Xi)=∑i=1nlog(1+Xi)∑i=1nt(Xi)=∑i=1nlog(1+Xi)\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i) 那么∑ni=1log(1+Xi)∑i=1nlog(1+Xi)\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)任何线性函数,或者等效地,1的任何线性函数1n∑ni=1log(1+Xi)1n∑i=1nlog(1+Xi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i),将达到其期望的CRLB,因此将成为其期望的UMVUE。由于E(log(1+X))=1θE(log(1+X))=1θ\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}我们的UMVUE为1θ1θ\frac{1}{\theta}是1n∑ni=1log(1+Xi)1n∑i=1nlog(1+Xi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i) 对于天然的参数,我们可以让η=−(1+θ)⇒θ=−(η+1)η=−(1+θ)⇒θ=−(η+1)\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1) …
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