挑战

给定一个正整数N，输出第一个N倒数的总和作为精确的分数，将其表示为一对整数，以一致的顺序表示分子和分母。

规则

输出必须准确。
输出应为一对整数，以一致的顺序表示分子和分母。
禁止使用非整数数字类型（内置或库）。
- 澄清/例外：当且仅当使用，计算和返回的所有值都是整数时，非整数数字类型才可以（例如，您的语言默认使用有理数，但您的答案中仅使用整数算术）
输出应尽可能减少。（3/2还可以，6/4不是）
禁止出现标准漏洞。
提交的内容至少应输入20个或此meta，以较高者为准。

测试用例

1: 1/1
2: 3/2 (1/1 + 1/2)
3: 11/6 (1/1 + 1/2 + 1/3)
4: 25/12 etc.
5: 137/60
6: 49/20
20: 55835135/15519504
56: 252476961434436524654789/54749786241679275146400
226: 31741146384418617995319820836410246588253008380307063166243468230254437801429301078323028997161/5290225078451893176693594241665890914638817631063334447389979640757204083936351078274058192000

测试用例生成（Python 3）

import fractions
def f(x):
    return sum(fractions.Fraction(1,i) for i in range(1,x+1))

类似于这个挑战和这个挑战。

数字为OEIS A001008，分母为OEIS A002805。

code-golf math rational-numbers

— 比萨184
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沙盒帖子（已删除）

— pizzapant184 '18

Python 2中，80 79个字节

D=1;N=n=0;exec"n+=1;y=N=N*n+D;x=D=D*n;"*input()
while y:x,y=y,x%y
print N/x,D/x

在线尝试！

打印分子和分母。

好极了！MathJax支持！！！有人观察到：

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{n!}{n! i} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \frac{n!}{i}}{n!}

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{n!i} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{i}}{n!}$

然后，在累加器中考虑正数的递归： $n$ N

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{(n + 1)!}{i} = (n + 1) \sum_{i = 1}^{n} \frac{n!}{i} + \frac{(n + 1)!}{n + 1} = (n + 1) \sum_{i = 1}^{n} \frac{n!}{i} + n!

$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{(n+1)!}{i} = (n+1) \sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{i} + \frac{(n+1)!}{n+1} = (n+1) \sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{i} + n!$

而且不禁想到了D发射器递归地因此。 $n!$ exec

我们必须通过while循环中的GCD计算来支付减分数吹打器；然后我们完成了。

— 查斯·布朗
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7

果冻，10字节

!:RS,!:g/$

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怎么运行的

!:RS,!:g/$  Main link. Argument: n

!           Compute n!.
  R         Range; yield [1, ..., n].
 :          Divide n! by each k in [1, ..., n].
   S        Take the sum. Let's call it s.
     !      Compute n! again.
    ,       Pair; yield [s, n!].
      :g/$  Divide [s, n!] by their GCD.

— 丹尼斯
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5

J，16字节

!(,%+.)1#.!%1+i.

在线尝试！

运行示例

f =: !(,%+.)1#.!%1+i.
f 6x
   20 49
f 20x
   15519504 55835135
f 56x
   54749786241679275146400 252476961434436524654789

怎么运行的

!(,%+.)1#.!%1+i.    NB. Tacit verb
            1+i.    NB. 1 to n inclusive
          !%        NB. Divide factorial by 1 to n
       1#.          NB. Sum i.e. numerator (not reduced)
!                   NB. Factorial i.e. denominator (not reduced)
 (,%+.)             NB. Divide both by GCD

J，9个字节，使用小数类型

1#.1%1+i.

在线尝试！

如果不能整除，J给出用于int-int除法的分数。

— 起泡器
source

仅当参数之一为bigint时。

— user202729

您可以使用这样的包装器

— user202729 '18

将2 x:1#.1%1+i.算作有效答案，还是对有理类型的无效使用？

— 科尔

5

05AB1E，10个字节

!DIL÷O)D¿÷

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使用与所有其他条目相同的方法。输出为形式[denominator, numerator]。

!DIL÷O)D¿÷   Full program. Let's call the input I.
!D           Push the factorial twice to the stack. STACK: [I!, I!]
  IL         Range from 1 to I. STACK: [I!, I!, [1 ... I]]
    ÷        Vectorized integer division. STACK: [I!, [I! / 1, I! / 2, ..., I! / I]]
     O       Sum. STACK: [I!, I! / 1 + I! / 2 + ... + I! / I]
      )      Wrap stack. STACK: [[I!, I! / 1 + I! / 2 + ... + I! / I]]
       D     Duplicate. STACK: [[I!, I! / 1 + ... + I! / I], [I!, I! / 1 +... + I! / I]]
        ¿    GCD. STACK: [[I!, I! / 1 + ... + I! / I], gcd(I!, I! / 1 +... + I! / I)]
         ÷   Vectorized integer division.

— Xcoder先生
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4

Wolfram语言（Mathematica），30个字节

#/GCD@@#&@{Tr[#!/Range@#],#!}&

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如果允许使用内置小数类型，则为14个字节

HarmonicNumber

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— Alephalpha
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InputForm@HarmonicNumber（24字节）以OP给定的格式输出。

— 埃里克塔'18

3

JavaScript（ES6），60个字节

返回[numerator, denominator]。

f=(n,a=0,b=1)=>n?f(n-1,p=a*n+b,q=b*n):b?f(0,b,a%b):[p/a,q/a]

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怎么样？

该方法类似于@ChasBrown的Python answer。

$a$ $b$ $a=0$ $b=1$

一种 \leftarrow 一种 ñ + b b \leftarrow b ñ ñ \leftarrow ñ - 1个

$a\gets an+b\\ b\gets bn\\ n\gets n-1$

$n=0$

$(a,b)$ $(p,q)$ $a\gets \gcd(a,b)$

一种 \leftarrow b b \leftarrow 一种 模 b

$a\gets b\\ b\gets a \bmod b$

$b=0$

$p/a$ $q/a$

— Arnauld
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3

Perl 6的，57 53个字节

{+($!=[*] 1..$_)/($!=($/=sum $! X/1..$_)gcd$!),$//$!}

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匿名代码块，它接受一个整数并返回一个元组denominator, numerator。

如果允许我们使用分数类型，那将是更简单的32位：

{sum(map 1/*.FatRat,1..$_).nude}

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— 乔·金
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2

八度，29字节

@(n)sym(sprintf('+1/%i',1:n))

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— 路易斯·门多
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2

C ++ 17（gcc），108个字节

仅使用整数算法：

#import<random>
int f(int x,long&n,long&d){n=0;d=1;int
a;while(n=n*x+d,d*=x,a=std::gcd(n,d),n/=a,d/=a,--x);}

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C ++ 17（gcc），108个字节

#import<random>
int f(long&n){double a=0;long
d=1;while(d*=n,a+=1./n,--n);n=a*d+.5;n/=a=std::gcd(n,d);d/=a;}

在线尝试！

与以下相同，但使用C ++ 17的std::gcd。

C ++（gcc），109字节

#import<regex>
int f(long&n){double a=0;long
d=1;while(d*=n,a+=1./n,--n);n=a*d+.5;n/=a=std::__gcd(n,d);d/=a;}

在线尝试！

由于C ++没有原生的bigint支持，因此肯定会为溢出n>20。

要求：

gcc不推荐使用的import语句。
gcc的std::__gcd。
-O0（我认为是这样），否则编译器将进行优化d/=a。
至少64位long。

说明：

$d=n!, a=H_n$
回合a*d由铸造最接近的整数a*d+.5来long分配，和n。现在n/d是输出。
用简化分数std::__gcd。

— 用户名
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您不能使用auto a=0.代替double a=0（少1个字符）吗？

— Dan M.

是的，他可以。循环中还有一个字节：106个字节

— movatica

2

Pari / GP，34个字节

n->l=[sum(i=1,n,n!/i),n!];l/gcd(l)

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如果允许内置小数类型，则为17个字节

n->sum(i=1,n,1/i)

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— Alephalpha
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2

MATL，13个字节

:tptb/sht&Zd/

在MATL Online上尝试

与@Dennis的果冻答案中使用的方法相同。

:t    % Range from 1 to n, duplicate. 
pt    % Take the product of that (= factorial), duplicate that too.     
b/    % Bring the range to top of stack, divide factorial by each element    
sh    % Sum those. Concatenate factorial and this into a single array.     
t&Zd/ % Compute GCD of those and divide the concatenated array elements by the GCD.

（隐式输出，先打印分母，然后打印分子。）

~~浮点数错误意味着这对于n = 20不起作用，因为中间值太大。~~看起来测试用例输出是一个错字，对于n = 20，它返回的答案与其他答案相同。

这是在发现之前我尝试过的整数类型保留版本（25字节）：

25个字节，最多输入43

O1i:3Y%"t@*b@*b+wht&Zd/Z}

在线尝试！

将数字转换为，uint64然后再对其进行运算，并在循环中显式地执行算术运算（不使用prod或sum）。更重要的是，在每次迭代的最后，将部分分子和分母除以GCD的每一步。这样可以增加输入范围，n最多允许43个输入。部分代码基于@Chas Brown的Python答案。

使用LCM而不是阶乘的替代（原始）方法：

16 15字节

:t&Zmtb/sht&Zd/

在MATL Online上尝试

— sundar-恢复莫妮卡
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1

Excel VBA，141个字节

从[A1]控制台获取输入并输出到控制台。

s="=If(Row()>A$1,":[B:B]=s+"1,Row())":l=[LCM(B:B)]:[C:C]=s &"0,"&l &"/B1)":g=[GCD(LCM(B:B),SUM(C:C))]:?Format([Sum(C:C)]/g,0)"/"Format(l/g,0)

取消评论

Sub HarmonicSum(n)
    [A1] = n                            ''  Pipe input
    s = "=IF(ROW()>A$1,"                ''  Hold the start of formulas
    [B1:B40] = s + "1,ROW())"           ''  Get series of numbers 1 to N, trailing 1s
    l = [LCM(B1:B40)]                   ''  Get LCM
    [C1:C40] = s & "0," & l & "/B1)"    ''  Get LCM/M for M in 1 to N
    g = [GCD(LCM(B1:B40),SUM(C1:C40))]  ''  Get GCD
                                        ''  Format and print output
    Debug.Print Format([Sum(C1:C40)] / g, 0); "\"; Format(l / g, 0)
End Sub

— 泰勒·斯科特
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1

直流电，87字节

?sn1dsNsD[lndlDdlNln*+sN*sD1-dsn1<M]sMln1<MlDsAlNsB[lAlB%sTlBsAlTsBlB0<G]dsGxlDlA/lNlA/

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这将分子和分母按此顺序保留在堆栈的顶部，这是此输出默认值所允许的。由于dc没有gcd内置，因此利用欧几里得算法来计算gcd。

— 卡普
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1

Stax，11 个字节

ó╢Δ'åç4}ú┌7

运行并调试

说明：

我们要计算：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} \frac{1个}{一世}

$\sum_{i=1}^n{\frac 1 i}$

现在我们需要一个分母 $b$ 和分子列表 $a_i$ ：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} \frac{{一种}_{一世}}{b} = \frac{\sum_{一世 = 1个}^{ñ} {一种}_{一世}}{b}

$\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}b}=\frac{\sum_{i=1}^n{a_i}}{b}$

我们可以做 $b=n!$ ，那么我们有：

\begin{aligned} \frac{{一种}_{一世}}{ñ ！} & = \frac{1个}{一世} & | \times ñ ！ \\ {一种}_{一世} & = \frac{ñ ！}{一世} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{a_i}{n!}&=\frac 1 i&|\times n! \\ a_i&=\frac{n!}i \end{align}$

因此，我们有：

\sum_{一世 = 1个}^{ñ} \frac{1个}{ñ} = \frac{\sum_{一世 = 1个}^{ñ} \frac{ñ ！}{一世}}{ñ ！}

$\sum_{i=1}^n{\frac 1 n}=\frac{\sum_{i=1}^n{\frac{n!}i}}{n!}$

|Fx{[/m|+L:_m Full program
|F            Factorial
  x           Push input again
   {  m       Map over range [1, n]
    [           Copy the factorial
     /          Divide factorial by current value
       |+     Sum
         L    Listify stack, top gets first element
          :_  Divide both values by gcd
            m Print each followed by newline

— 浪费
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1

APL（NARS），56个字符，112个字节

{⍵=1:⊂1 1⋄{(r s)←⍺⋄(i j)←⍵⋄m÷∨/m←((r×j)+s×i),s×j}/1,¨⍳⍵}

测试：

  f←{⍵=1:⊂1 1⋄{(r s)←⍺⋄(i j)←⍵⋄m÷∨/m←((r×j)+s×i),s×j}/1,¨⍳⍵}
  f 1
1 1 
  f 2
3 2 
  f 3
11 6 
  f 20
55835135 15519504

用几句话减少集合上的“ 2个小数的和函数”（一个小数是一个列表2个整数）：

1 2, 1 3,..., 1 n

下面这似乎是错误的：

 f 56
74359641471727289 16124934538402170

但是如果我改变输入的类型比：

  f 56x
252476961434436524654789 54749786241679275146400 
  f 226x
31741146384418617995319820836410246588253008380307063166243468230254437801429301078323028997161 529022507845189
  3176693594241665890914638817631063334447389979640757204083936351078274058192000

— 罗斯鲁普
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1

APL（Dyalog Unicode），15 12字节

⌽!(,÷∨)1⊥!÷⍳

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隐式函数，采用单个参数⍵。⌽如果允许我们先打印分母，则通过删除来节省一个字节。

感谢@dzaima 3个字节。

怎么样：

⌽!(,÷∨)1⊥!÷⍳ ⍝ Tacit function, argument will be called ⍵.
           ⍳ ⍝ Range 1..⍵ 
          ÷  ⍝ Dividing
         !   ⍝ the factorial of ⍵
       1⊥    ⍝ Base-1 decode, aka sum;
 !(   )      ⍝ Using that sum and the factorial of ⍵ as arguments, fork:
     ∨       ⍝ (GCD
    ÷        ⍝ dividing
   ,         ⍝ the vector with both arguments)
⌽            ⍝ reversed.

— J·萨莱
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调和数列的精确部分和

挑战

规则

测试用例

测试用例生成（Python 3）

Python 2中，80 79个字节

果冻，10字节

怎么运行的

J，16字节

运行示例

怎么运行的

J，9个字节，使用小数类型

05AB1E，10个字节

Wolfram语言（Mathematica），30个字节

如果允许使用内置小数类型，则为14个字节

JavaScript（ES6），60个字节

怎么样？

Perl 6的，57 53个字节

八度，29字节

C ++ 17（gcc），108个字节

C ++ 17（gcc），108个字节

C ++（gcc），109字节

Pari / GP，34个字节

如果允许内置小数类型，则为17个字节

MATL，13个字节

25个字节，最多输入43

16 15字节

Excel VBA，141个字节

取消评论

直流电，87字节

Stax，11 个字节

APL（NARS），56个字符，112个字节

APL（Dyalog Unicode），15 12字节

怎么样：