给定一些非整数的正整数，找到相关的Pell方程的基本解$n$$(x,y)$

细节

• 基本是一对整数满足等式，其中最小且为正。（总有平凡的解未被计算。）$(x,y)$$x,y$$x$$(x,y)=(1,0)$
• 您可以假设不是正方形。$n$

例子

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

相关OEIS序列：A002350 A002349 A033313 A033317

Piet，612种编码

从标准输入中取n。输出y然后x，以空格分隔。

Codel大小1：

Codel大小4，以便于查看：

说明

签出此NPiet跟踪，该跟踪显示了针对输入值为99的计算解的程序。

我不确定在挑战之前是否听说过佩尔方程，因此我从维基百科获得了以下所有内容：具体来说，这三篇文章的这些部分：

• 佩尔方程§通过连续分数的基本解
• 计算平方根的方法§连续分数展开
• 连续分数§无限连续分数和收敛

基本上，我们要做的是：

1. 从标准输入中获取$n$。
2. 查找$\lfloor\sqrt n\rfloor$通过，直到其超过正方形递增计数器$n$，然后递减一次。（这是您在跟踪图中看到的第一个循环，位于左上方。）
3. 设置一些变量以根据√的连续分数计算$x$和$y$$\sqrt n$。
4. 检查$x$和$y$是否符合Pell方程。如果是这样，则输出值（这是大约2/3的向下分支），然后退出（进入最左侧的红色块）。
5. 如果不是，则迭代更新变量，然后返回到步骤4。（这是向右跳的宽循环，回到底部，然后重新跨过一半。）

坦率地说，我不知道强行方法是否会更短，而且我也不会尝试！ 好吧，所以我尝试了。

Piet，184种编码

这是我不想写的（在其他答案中）的蛮力替代方法。计算n = 13 的解需要花费2分钟以上的时间。我真的不想在n = 29 上尝试...但是它最多每20个n都会检出一次，因此我相信它是正确的。

像其他答案一样，这从标准输入中取n，然后输出y，然后以空格分隔x。

Codel大小1：

Codel大小4，以便于查看：

说明

这是NPiet跟踪，输入值为5。

这是对$x$和$y$迭代的最残酷的蛮力。其他解决方案可能会遍历$x$，然后计算$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$，但是他们w弱。

从$x=2$和$y=1$，这检查$x$和$y$是否已求解方程。如果有的话（叉子在右下方的底部），则输出值并退出。

如果不是，它将继续向左，其中$y$递增并与$x$进行比较。（然后，有一些方向旋转可以跟随之字形路径移动。）

最后的比较是路径在左中角附近分开。如果它们相等，则将$x$递增，并将$y$设置回1。然后我们返回检查是否可行。

我仍然有一些空白，因此也许可以看看是否可以在不扩大程序范围的情况下合并平方根计算。

Brachylog，16个字节

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

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说明

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

Pari / GP，34个字节

PARI / GP几乎有一个内置的是：quadunit使基本单位的的二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$，其中$D$是该字段的判别式。换句话说，quadunit(4*n)解决了佩尔方程$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$。因此，当平方为$-1$时，我必须采取平方。

我不知道它使用什么算法，但是即使$n$不是无平方的，它也可以工作。

答案的形式给出x + y*w，其中w表示$\sqrt{n}$。

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

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Wolfram语言（Mathematica），46字节

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

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05AB1E，17 16 14字节

感谢Kevin Cruijssen节省了一个字节。
产出[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

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说明

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

Java 8，74 73 72字节

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

-1个字节感谢@Arnauld。
-1个字节感谢@OlivierGrégoire。

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说明：

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

R，66 56 54 53 52 47 45字节

完整程序

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

-1 -2感谢@Giuseppe

-7感谢@Giuseppe和@Robin Ryder -2 @JAD

果冻，40个字节

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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如果X和y较大，则可替代果冻答案，减少高尔夫球运动，但算法上更有效。这将找到近似n的平方根的正则连续分数的收敛，然后检查将其求解为Pell方程。现在正确地找到规则连续分数的周期。

感谢@TimPederick，我还实现了一个基于整数的解决方案，该解决方案可以处理任何数字：

果冻，68字节

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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例如，1234567890的解决方案的分子和分母分别为1936和1932。

JavaScript（ES7），47个字节

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

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$x²-1$$x$

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

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或者我们可以采用50字节的非递归方式：

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

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TI-BASIC， 44  42 41字节

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

$n$
$(x,y)$

$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$$x\ge2$
$(x,y)$$y\bmod1=0$

例子：

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

说明：

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

注意： TI-BASIC是一种标记化语言。字符数不不等于字节数。

MATL，17个字节

`@:Ut!G*-!1=&fts~

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说明

该代码不断增加的计数器ķ = 1，2，3，...各ķ，溶液X，ÿ用1≤ X ≤ ķ，1个≤ ÿ ≤ ķ被搜索。找到某些解决方案的过程。

确保此过程仅找到一种解决方案，而这正是基本解决方案。要了解原因，请注意

1. 对于n > 1的任何解x > 0，y > 0都满足x > y。
2. 如果x，y是一个解决方案，而x '，y '是一个不同的解决方案，则必然x ≠ x ' 和 y ≠ y '。

由于1和2，

• 当程序在给定的站ķ，只有一个解决方案存在着对ķ，因为如果有两个解决方案，其中之一会被发现较早，并且进程将停止以较小ķ。
• 这个解决方案是最基本的解决方案，因为同样，如果有一个解决方案，它的x会更小。

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

Python 2，49个字节

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

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查找x大于1的最小数字，其中x % sqrt(n) <= 1/x。然后，发现y从x作为y = floor(x / sqrt(n))。

Haskell，46个字节

$(x,y)$$x^2 - ny^2 = 1$$y \leq x$

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

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C＃（Visual C＃交互式编译器），70 69字节

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

我的Java 8 answer的端口，但是输出一个元组而不是字符串来保存字节。

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果冻，15字节

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

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包含单个参数n并返回的元组的完整程序x, y。

外壳，12个字节

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

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说明

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

MathGolf，12个字节

ökî²*)_°▼Þ√î

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关于输出格式，我要抛出一个冰雹玛丽。如果不允许，我有一个解决方案，该解决方案的长度增加了1个字节。输出格式为x.0y，其中.0两个数字之间是分隔符。

说明

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

我从Emigna的05AB1E答案中得到了一些启发，但是却发现了一些改进。如果不允许使用我选择的分隔符，请在最后一个字节之前添加一个空格，以使字节数为13。

APL（NARS），906字节

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

上面有2个函数sqrti函数，它们将查找最小平方根，而pell函数将返回Zilde以获取错误，并且基于阅读http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html页面 ，它将使用算法来了解数字trhu的sqrt继续小数（即使我使用牛顿方法对已知sqrt使用一个算法），并在找到p和q时停止，这样

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

测试：

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

sqrti函数的循环有一个循环限制，而Pell函数的循环有一个循环限制，因为可能的案例数太大或算法没有收敛...（我不知道sqrti是否汇聚所有可能的输入，并且也具有相同的Pell功能）

Groovy，53个字节

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

在线尝试！

凯文·克鲁伊森（Kevin Cruijssen）的Java和C＃答案

Pyth，15个字节

fsIJ@ct*TTQ2 2J

在这里在线尝试。x然后y用换行符分隔输出。

Wolfram语言（Mathematica），41个字节

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√是3字节Unicode字符＃221A。以（y，x）而不是（x，y）的顺序输出解决方案。与不完善//.及其有限的迭代一样，通常仅对输入的真实值y最多为65538的输入起作用。

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> <>，45个字节

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

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蛮力算法，x=2向上搜索，y=x-1每个循环递减，到0 x时递增。y输出x后跟y，用换行符分隔。

C＃（Visual C＃交互式编译器），69字节

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

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Python 3，75个字节

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

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说明

该代码也可以在Python 2中运行。但是，Python 2中的range（）函数创建的是列表，而不是Python 3中的生成器，因此效率极低。

有了无限的时间和内存，就可以使用列表推导代替迭代器并节省3个字节，如下所示：

Python 3，72个字节

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

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Python 2，64个字节

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

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返回(x, y)。