该吹胀是代数几何中的有力工具。它可以去除奇点从代数集中同时保留其其余结构。

如果您对这些都不熟悉，请不要担心，实际的计算并不难理解（请参阅下文）。

下面我们考虑爆炸了点$(0,0)$2D中的代数曲线 二维的代数曲线由两个变量的多项式的零位给出（例如$p(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ 对于单位圆，或者 $p(x,y) = y-x^2$抛物线）。那条曲线的爆炸（在$(0,0)$）由两个多项式给出 $r,s$如下定义。都$r$ 和 $s$ 确实描述 $p$ 具有（可能）的奇点 $(0,0)$ 删除。

挑战

给定一些多项式 $p$， 找 $r$ 和 $s$ 如下定义。

定义

首先请注意，我在这里所说的一切都是简化的，并不完全符合实际定义。

给定多项式 $p$ 在两个变量中 $x,y$该爆破是由两个多项式给出$r,s$ 再次在两个变量中每个。

要得到 $r$ 我们首先定义 $R(x,v) := p(x,vx)$。然后$R(x,v)$ 大概是 $x$，即 $R(x,v) = x^n \cdot r(x,v)$ 对于一些 $n$ 哪里 $x$ 不分裂 $r(x,v)$。然后$r(x,v)$ 基本上是除法后剩下的

另一个多项式的定义完全相同，但是我们切换了变量：首先写 $S(u,y) := p(uy,y)$。然后$s$ 被定义为 $S(u,y) = y^m \cdot s(u,y)$ 对于一些 $m$ 哪里 $y$ 不分裂 $s(u,y)$。

为了更清楚地考虑以下

例

考虑由零轨迹给出的曲线 $p(x,y) = y^2 - (1+x) x^2$。（它在$(0,0)$因为此时没有明确定义的切线。）

然后我们发现

$$R(x,v) = p(x,vx) = v^2x^2-(1+x)x^2 = x^2 (v^2-1-x)$$

然后 $r(x,v) = v^2 -1 -x$ 是第一个多项式。

相似地

$$S(u,y) = p(uy,y) = y^2 - (1+ uy) u^2 y^2 = y^2 (1 - (1 + uy)u^2)$$

然后 $s(u,y) = 1 - (1 + uy)u^2 = 1 - u^2 + u^3y$。

输入/输出格式

（与此处相同。）多项式表示为(m+1) x (n+1)整数系数列表的矩阵/列表，在下面的示例中，系数的项在其位置给出：

[   1 * 1,   1 * x,   1 * x^2,   1 * x^3,  ... , 1 * x^n ]
[   y * 1,   y * x,   y * x^2,   y * x^4,  ... , y * x^n ]
[   ...  ,   ...   ,   ...   ,    ...   ,  ... ,   ...   ]
[ y^m * 1, y^m * x, y^m * x^2, y^m * x^3 , ..., y^m * x^n]

因此，椭圆0 = x^2 + 2y^2 -1将表示为

[[-1, 0, 1],
 [ 0, 0, 0],
 [ 2, 0, 0]]

如果您愿意，也可以交换x和y。在每个方向上，您都可以使用尾随零（即，较高阶的系数仅为零）。如果更方便，您还可以使用交错数组（而不是矩形数组），以便所有子子数组都不包含尾随零。

• 输出格式与输入格式相同。

例子

有待添加的更多内容（更多信息来源）

Trifolium
p(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - (x^3 - 3xy^2)
r(x,v) = v^4  x + 2  v^2  x + x + 3  v^2 - 1
s(u,y) = u^4  y + 2  u^2  y + y - u^3 + 3  u

Descartes Folium
p(x,y) = y^3 - 3xy + x^3
r(x,v) = v^3  x + x - 3v
s(u,y) = u^3  y + y - 3u

没有图片的例子

Trifolium:
p:
[[0,0,0,-1,1],
 [0,0,0, 0,0],
 [0,3,2, 0,0],
 [0,0,0, 0,0],
 [1,0,0, 0,0]]
r: (using the "down" dimension for v instead of y)
[[-1,1],
 [ 0,0],
 [ 3,2],
 [ 0,0],
 [ 0,1]]
s: (using the "right" dimension for u instead of x)
[[0,3,0,-1,0],
 [1,0,2, 0,1]]

Descartes Folium:
p:
[[0, 0,0,1],
 [0,-3,0,0],
 [0, 0,0,0],
 [1, 0,0,0]]
r:
[[ 0,1],
 [-3,0],
 [ 0,0],
 [ 0,1]]
s:
[[0,-3,0,0],
 [1, 0,0,1]]

Lemniscate:
p: 
[[0,0,-1,0,1],
 [0,0, 0,0,0],
 [1,0, 0,0,0]]
r:
[[-1,0,1],
 [ 0,0,0],
 [ 1,0,0]]
s:
[[1,0,-1,0,0],
 [0,0, 0,0,0],
 [0,0, 0,0,1]]

Powers:
p:
[[0,1,1,1,1]]

r:
[[1,1,1,1]]

s:
[[0,1,0,0,0],
 [0,0,1,0,0],
 [0,0,0,1,0],
 [0,0,0,0,1]]

Python 3 + numpy，165134字节

lambda p:(r(p),r(p.T).T)
from numpy import*
def r(p):w,l=where(p);s=w+l;n=min(s);o=zeros((len(p),max(s)-n+1));o[w,s-n]=p[w,l];return o

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该函数将一个numpy2D数组p作为输入，并返回(r,s)两个numpy2D数组的元组。

解决方案的细分如下。为了计算多项式$r$，我们重写每个术语 $x^jy^i$ 的 $p$ 进入 $x^{j+i}(\frac{y}{x})^i$，它变成 $x^{j+i}u^i$ 在 $p(x,ux)$。这样我们就可以重新排列输入$(m+1)\times (n+1)$ 矩阵 $P$ 变成一个 $(m+1)\times (m+n-1)$ 矩阵 $D$ 对应于 $p(x,ux)$ 通过设置 $D[i,j+i]=P[i,j]$。然后，我们消除开头和结尾的全零列$D$ 执行约简并获得输出矩阵 $R$ 对于 $r$。

计算 $s$，我们只是交换 $x$ 和 $y$，重复相同的过程，然后将它们交换回去。这对应于计算$R$ 对于 $P^T$ 然后转置结果。

以下未执行代码的代码显示了上述计算过程。

空球（基本）

import numpy as np

def r(p):
    num_rows, num_cols = p.shape
    deg_mat = np.zeros((num_rows, num_rows + num_cols - 1))
    for i, row in enumerate(p):
        deg_mat[i, i:i+num_cols] = row
    non_zero_col_idx, = np.where(deg_mat.any(axis=0))
    return deg_mat[:,non_zero_col_idx.min():non_zero_col_idx.max()+1]

def rs(p):
    return r(p), r(p.T).T

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解决方案的进一步改进计算矩阵 $R$ 一次基于 $R[i,j+i-c]=P[i,j]$，在哪里 $c=\min_{P[i,j]\neq 0}i+j$。

取消高尔夫（改进）

import numpy as np

def r(p):
    y_deg, x_deg = np.where(p)  # Retrieve degrees of y and x for non-zero elements in p
    total_deg = y_deg + x_deg
    min_total_deg = total_deg.min()
    max_total_deg = total_deg.max()
    out = np.zeros((p.shape[0], max_total_deg - min_total_deg + 1))
    out[y_deg, y_deg + x_deg - min_total_deg] = p[y_deg, x_deg]
    return out

def rs(p):
    return r(p), r(p.T).T

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APL（Dyalog Unicode），38 37字节

通过使用ngn+/∘⍴代替虚拟文字，节省了1个字节0

⊢∘⍉\+/∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍺↑⍵}¨⊂,⊂∘⍉

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（⎕io（索引原点）设置为0 的火车）

⊂ 封闭的权利论证

, 与

• ⊂∘ 封闭的

• ⍉ 移置权论证

$s$ 是根据前者计算得出的 $r$ 从后者

¨ 在每一个上

+/∘⍴{ ... } 用左参数执行以下功能

• +/ 和

  • • ⍴ 正确参数的形状，即获取行+列

正确的参数将是每个封闭的矩阵。

⍺↑⍵并⍺从右边的参数中取出左边的参数很多行⍵，如果⍵行数不足（这是因为rows + columns> rows），它将填充足够的0

代入计算 $vx$ 要么 $uy$ 代替 $y$ 要么 $x$通过旋转⍵索引的列完成索引的操作，并且由于⍵填充了0，因此列的⍵有效位置前面是所需的0。

⊖ 旋转列

• ⍉⍵ 转置 ⍵

• ≢一起计算行数，≢⍉⍵获取其中的列数⍵

• ⍳ 范围0 .. count-1

• -取反，以向另一个方向旋转，并为取默认值⊖，最终产生0¯1¯2...-（count-1），这将自动矢量化每列，以使第0列旋转0， 1乘1，...

q← 将此分配给变量 q

现在将多项式除以 $x$ 要么 $y$，则必须删除前导全0行。

∨/ 通过每行LCM减少，如果该行全为0，则得出0，否则给出一个正数

×得到它的符号0→ 0和正数→ 1

⍸ 真实指数，即1s的指数

⊃选择第一个元素，⊃⍸只需获取第一个元素的索引

q↓⍨从中删除那么多行q，再次⎕io←0有助于⍸返回正确的值以删除前导全0行

（退出功能）

$s$ 已经实现了 $r$ 第二个值必须通过 ⊢∘⍉\

---

下面列出了其他方法。

⍝(⊢∘⍉\+/∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍺↑⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\∘⌽⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂∘⍉,⊂)¨a
⍝(⊢∘⍉\⌽∘⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\0{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊢∘⍉\+/∘⍴({⍵↓⍨⊃⍸×∨/⍵}(-∘⍳1⊃⊢∘⍴)⊖↑)¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝(⊂∘⍉∘⊃@0⍴{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳⍺)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂∘⍉,⊂)¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⊢∘⍉\(({⍵↓⍨⊃⍸×∨/⍵}(-∘⍳1⊃⍴)⊖⊢↑⍨1⊥⍴)¨⊂,⊂∘⍉))¨a
⍝(0 1{⍉⍣⍺⊢q↓⍨⊃⍸×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⊂,⊂∘⍉)¨a
⍝{⊢∘⍉\{q[;⍸×∨\∨⌿q←↑(,\0⍴⍨≢⍵),¨↓⍵]}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨1⍳⍨×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⊢∘⍉\(((⊢↓⍨1⍳⍨0≠∨/)(-∘⍳1⊃⍴)⊖⊢↑⍨1⊥⍴)¨⊂,⊂∘⍉))¨a
⍝{⊢∘⍉\{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨+/0=∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{q↓⍨⌊/+⌿∧⍀0=q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝(⌽∘⍉¨1↓({⊖⍉q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}\3/⊂))¨a
⍝{⊢∘⍉\{↑(↓q)/⍨∨\×∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝f←⊢∘⍉\⋄{f{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}¨f⍵⍵}¨a
⍝{1↓⌽∘⍉¨{⊖⍉q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}\3/⊂⍵}¨a
⍝{f←{q[⍸×∨\∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵;]}⋄(f⍵)(⍉f⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{↑(↓q)/⍨∨\0≠∨/q←(-⍳≢⍉⍵)⊖⍵↑⍨+/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a
⍝{⊢∘⍉\{(0~⍨∊⍵)@(↓⍉(⊢-⌊/)@1+⍀⍉↑⍸0≠⍵)⊢0⍴⍨,⍨⌈/⍴⍵}¨⍵(⍉⍵)}¨a