介绍

两种最常见的三角函数，sine和cosine（或sin和cos的简称），可以扩展为矩阵值函数。计算矩阵值类似物的一种方法如下：

考虑以下两个重要的三角恒等式：

使用这些标识，我们可以为sin和导出以下方程式cos：

该矩阵指数存在于所有方阵和由下式给出：

其中A ⁰是单位矩阵I与A具有相同的维度。使用矩阵指数，可以将这两个三角函数（以及所有其他三角函数）评估为矩阵的函数。

挑战

给定一个正方形矩阵甲，的输出的值sin(A)和cos(A)。

规则

• 输入和输出可以采用任何方便且合理的格式（2D数组，您的语言的矩阵格式等）。
• 您可以编写一个程序，两个独立程序，一个功能或两个功能。如果选择编写两个函数，则可能会在它们之间共享代码（例如，导入和帮助函数）。
• 输入矩阵的值将始终为整数。
• 由于浮点不精确，您的解决方案可能会出现准确性问题。如果您的语言具有神奇的无限精度值，那么您的解决方案应该可以完美地工作（忽略它需要无限的时间和/或内存的事实）。但是，由于不存在那些不可思议的无限精度值，因此可以接受由有限精度引起的不准确性。制定该规则是为了避免由于要求输出达到特定精度而导致的复杂情况。
• 不允许为矩阵参数计算三角函数的内建函数（包括双曲三角函数）。允许使用其他矩阵内建函数（例如乘法，乘幂，对角化，分解和矩阵指数）。

测试用例

格式： A -> sin(A), cos(A)

[[0]] -> [[0]], [[1]]
[[0, 2], [3, 5]] -> [[-0.761177343863758, 0.160587281888277], [0.240880922832416, -0.359709139143065]], [[0.600283445979886, 0.119962280223493], [0.179943420335240, 0.900189146538619]]
[[1, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 1, 0]] -> [[0.841470984807897, -0.158529015192103, 0.841470984807897], [0, 0, 0], [0, 1, 0]], [[0.540302305868140, -0.459697694131860, -0.459697694131860], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
[[1, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]] -> [[0.841470984807897, 0, 0, 0, 0], [0, 0.841470984807897, 0, 0, 0], [0, 0, 0.841470984807897, 0, 0], [0, 0, 0, 0.841470984807897, 0], [0, 0, 0, 0, 0.841470984807897]], [[0.540302305868140, 0, 0, 0, 0], [0, 0.540302305868140, 0, 0, 0], [0, 0, 0.540302305868140, 0, 0], [0, 0, 0, 0.540302305868140, 0], [0, 0, 0, 0, 0.540302305868140]]
[[-3, 2, -6], [3, 0, 4], [4, -2, 7]] -> [[-0.374786510963954, 0.135652884035570, -1.35191037980742], [1.14843105375406, 0.773644542790111, 1.21625749577185], [1.21625749577185, -0.135652884035570, 2.19338136461532]], [[4.13614256031450, -1.91289828483056, 5.50873853927692], [-2.63939111203107, 1.49675144828342, -3.59584025444636], [-3.59584025444636, 1.91289828483056, -4.96843623340878]]

进一步阅读

Math.SE上的这个极好的问题包括三角函数的矩阵值类似物的一些替代推导。

朱莉娅，33 19字节

A->reim(expm(A*im))

该函数接受浮点数的二维数组，并返回分别对应于余弦和正弦的此类数组的元组。请注意，这与测试用例中给出的顺序相反，在测试用例中先列出了正弦。

对于实值矩阵A，我们有

和

也就是说，A的正弦和余弦对应于矩阵指数e ^iA的虚部和实部。参见矩阵函数（Higham，2008年）。

在线尝试！（包括所有测试用例）

由于丹尼斯节省了14个字节！

Mathematica，27个字节

{Im@#,Re@#}&@MatrixExp[I#]&

基于@ Rainer P.的解决方案。

以方阵A为参数，并输出包含的列表{sin(A), cos(A)}。

所述输入与格式化N得到的数值代替长精确公式的和Column显示的结果sin(A)和cos(A)作为单独的矩阵代替的嵌套列表。

分别计算值需要38个字节

{(#2-#)I,+##}/2&@@MatrixExp/@{I#,-I#}&

果冻，23 22 字节

³æ*÷!
®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL

在线尝试！

背景

该方法直接计算正弦和余弦的泰勒级数，即

它会增加两个系列的初始项的数量，直到结果不再更改为止，因此其精度仅受浮点类型的精度限制。

怎么运行的

®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL  Main link, Argument: A (matrix)

             µÐL  Loop; apply the chain until the results are no longer unique.
                  Return the last unique result.
®                   Yield the value of the register (initially zero).
 Ḥ                  Unhalve/double it.
  ‘©                Increment and copy the result (n) to the register.
    r0              Range; yield [n, ..., 0].
      ǀ            Apply the helper link to each k in the range.
        s2          Split the results into chunks of length 2. Since n is always
                    odd, this yields [[Ç(n), Ç(n-1)], ..., [Ç(1), Ç(0)]].
          _@/       Reduce the columns of the result by swapped subtraction,
                    yielding [Ç(1) - Ç(3) + ... Ç(n), Ç(0) - Ç(2) + ... Ç(n - 1)].


³æ*÷!             Helper link. Argument: k (integer)

³                 Yield the first command-line argument (A).
 æ*               Elevate A to the k-th power.
    !             Yield the factorial of k.
   ÷              Divide the left result by the right one.

C ++，305个字节

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
int x,i=0, j;void p(std::vector<double> v){int x=sqrt(v.size());for(i=0;i<x;i++){for(j=0;j<x;j++) std::cout << v[x] << " ";std::cout << "\n";}}int main(){std::vector<double> s, c;while(std::cin >> x){s.push_back(sin(x));c.push_back(cos(x));}p(s);p(c);}

输入是数字列表，这些数字是stdin上的理想平方。输出是在stdout上漂亮打印的二维数组

Matlab，138121 52 50字节

由于允许矩阵求幂，（我首先没有注意到的是，d'oh）我不再需要定义我的辅助函数，并且可以简单地解决整个问题：

A=input('')*i;a=expm(A);b=expm(-A);[(b-a)*i,a+b]/2

输入应为矩阵，例如[1,2;4,5]或[[1,2];[3,4]]

意外的事情（事后看来并不意外）是余弦和正弦矩阵仍然满足

I = sin(A)^2+cos(A)^2

Matlab，37个字节

@(A){imag(expm(i*A));real(expm(i*A))}

朱莉娅0.4，28字节

A->imag({E=expm(im*A),im*E})

输入是浮点矩阵，输出是矩阵数组。在线尝试！

贤者，44字节

lambda A:map(exp(I*A).apply_map,(imag,real))

在线尝试。

此匿名函数返回分别对应于sin(A)和的2个矩阵的列表cos(A)。exp(I*A)计算I*A（A的所有元素乘以虚数单位的）的矩阵指数，并matrix.apply_map(f)返回一个f已应用于其所有元素的矩阵。通过将imag和应用real（用于获取标量值的虚部和实部的函数）到矩阵，由于欧拉的著名身份（在质询文本中进行了引用），我们获得了sin(A)和的值cos(A)。