一个正交矩阵是方阵与真正的条目，其列和行是正交的单位向量（即，正交向量）。

这意味着M ^ TM = I，其中I是单位矩阵，^ T表示矩阵转置。

注意，这是正交的而不是“特殊正交”，因此M的行列式可以是1或-1。

挑战的目标不是机器精度，因此如果M ^ TM = I到4个小数位以内就可以了。

任务是编写采用正整数n > 1并输出n×n矩阵的正交正交代码。矩阵应从所有 n×n个正交矩阵中随机且均匀地选择。在这种情况下，“均一”是根据Haar测度定义的，这实际上要求如果乘以任何自由选择的正交矩阵，分布就不会改变。这意味着矩阵的值将是-1到1范围内的浮点值。

输入和输出可以是您认为方便的任何形式。

请显示代码运行的明确示例。

您不能使用任何现有的创建正交矩阵的库函数。这个规则有些微妙，所以我将进一步解释。该规则禁止使用任何现有函数，该函数需要一些（或不输入）输入并输出大小至少为n×n的矩阵，该矩阵必须保证正交。举一个极端的例子，如果您想要n×n单位矩阵，则必须自己创建。

您可以使用任何标准随机数生成器库来选择所需的随机数。

您的代码最多应在几秒钟内完成n < 50。

Haskell中，169个 150 148 141 132 131字节

import Numeric.LinearAlgebra
z=(unitary.flatten<$>).randn 1
r 1=asRow<$>z 1
r n=do;m<-r$n-1;(<>diagBlock[m,1]).haussholder 2<$>z n

n-1通过在右下角加1 递归扩展大小为正交的矩阵，并应用随机Householder反射。randn给出具有高斯分布随机值的矩阵，并z d给出d尺寸均匀分布的单位矢量。

haussholder tau vI - tau*v*vᵀ当v不是单位矢量时，返回不正交的矩阵。

用法：

*Main> m <- r 5
*Main> disp 5 m
5x5
-0.24045  -0.17761   0.01603  -0.83299  -0.46531
-0.94274   0.12031   0.00566   0.29741  -0.09098
-0.02069   0.30417  -0.93612  -0.13759   0.10865
 0.02155  -0.83065  -0.35109   0.32365  -0.28556
-0.22919  -0.41411   0.01141  -0.30659   0.82575
*Main> (<1e-14) . maxElement . abs $ tr m <> m - ident 5
True

Python 2 + NumPy，163个字节

感谢xnor指出使用正态分布随机值，而不是统一值。

from numpy import*
n=input()
Q=random.randn(n,n)
for i in range(n):
 for j in range(i):u=Q[:,j];Q[:,i]-=u*dot(u,Q[:,i])/dot(u,u)
Q/=(Q**2).sum(axis=0)**0.5
print Q

在具有高斯随机值的矩阵上使用Gram Schmidt正交化以具有所有方向。

演示代码后跟

print dot(Q.transpose(),Q)

n = 3：

[[-0.2555327   0.89398324  0.36809917]
 [-0.55727299  0.17492767 -0.81169398]
 [ 0.79003155  0.41254608 -0.45349298]]
[[  1.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [  0.00000000e+00   1.00000000e+00  -5.55111512e-17]
 [  0.00000000e+00  -5.55111512e-17   1.00000000e+00]]

n = 5：

[[-0.63470728  0.41984536  0.41569193  0.25708079  0.42659843]
 [-0.36418389  0.06244462 -0.82734663 -0.24066123  0.3479231 ]
 [ 0.07863783  0.7048799   0.08914089 -0.64230492 -0.27651168]
 [ 0.67691426  0.33798442 -0.05984083  0.17555011  0.62702062]
 [-0.01095148 -0.45688226  0.36217501 -0.65773717  0.47681205]]
[[  1.00000000e+00   1.73472348e-16   5.37764278e-17   4.68375339e-17
   -2.23779328e-16]
 [  1.73472348e-16   1.00000000e+00   1.38777878e-16   3.33066907e-16
   -6.38378239e-16]
 [  5.37764278e-17   1.38777878e-16   1.00000000e+00   1.38777878e-16
    1.11022302e-16]
 [  4.68375339e-17   3.33066907e-16   1.38777878e-16   1.00000000e+00
    5.55111512e-16]
 [ -2.23779328e-16  -6.38378239e-16   1.11022302e-16   5.55111512e-16
    1.00000000e+00]]

在n = 50的瞬间完成，而在n = 500的瞬间完成。

Mathematica，69个字节，可能没有竞争

#&@@QRDecomposition@Array[RandomVariate@NormalDistribution[]&,{#,#}]&

QRDecomposition返回一对矩阵，其中第一个矩阵保证是正交的（第二个矩阵不是正交的，而是上三角的）。有人可能会说，这从技术上讲服从了限制的字母：它不输出正交矩阵，而是输出一对矩阵...。

Mathematica，63个字节，绝对不竞争

Orthogonalize@Array[RandomVariate@NormalDistribution[]&,{#,#}]&

OrthogonalizeOP明确禁止。尽管如此，Mathematica还是很酷的吗？