如何实际构造规则的扩展图？

我需要为n个顶点的一些小的固定d（例如3或4）构造d-正则展开图。

在实践中最简单的方法是什么？构造一个随机的d-正则图，证明它是扩展器？

我还阅读了有关作为扩展器的Margulis构造和Ramanujan图以及使用Z字形乘积的构造。Wikipedia给出了一个很好但很简短的概述：http : //en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 但是我在实践中选择哪种方法？

对我来说，这些方法的实现似乎非常复杂，尤其是要理解甚至很具体。难道没有更简单的方法（可能基于排列左右）来实际生成一系列d-正则展开图吗？

构造d-正则二分式展开图可能更容易吗？

我还有一个问题：不良的d-regular扩展器家族如何？这样的想法有意义吗？在扩展器的意义上，能否构造出一系列尽可能不好的d-正则图（当然是相连的）？

提前致谢。

graph-theory combinatorics cryptography discrete-mathematics expanders

— 用户名
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比您列出的结构更简单的显式结构，但是随机图应该可以解决问题，并具有更好的参数。

— Yuval Filmus 2013年

您能否提供这些结构的名称或参考？我猜，更好的参数表示更好的（边缘）扩展？

— user2145167 2013年

András给出了我想到的示例，但总的来说，随机图（几乎总是）比显式构造更好。不仅边缘扩展更大，而且可能对随机图自动满足其他对您的算法有用的类似属性。

— Yuval Filmus

好的，对于3级而言，András的例子或随机图对于我的应用程序似乎足够好。尤其是对于随机图，构造不是扩展器的3-reg图族将是有趣的。但这可能很难还是不可能？

— user2145167 2013年

取

s的并集。如果需要连接的图，请从每个

除去一个边（形成称为菱形图的图），然后将它们循环连接。

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Yuval Filmus

Answers:

如果您不介意带有自环的图，则“最简单的”扩展器族可能就是这一类，从而使扩展器具有3个正则。

以一些质数开头，并构造从到顶点。对于每个顶点，将连接到和（模。同时，连接独特的顶点，使得 $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ 。 $uv \equiv 1 \mod p$

例如，该族中的7个顶点图是一个7个循环，顶点在该循环附近按顺序编号；有自循环于，，和 ; 最后，有和弦连接和以及和。 $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

有关更多讨论和参考，请参阅/mathpro/124708/an-expander-graph。通过在CSTheory，Math.SE和MO上搜索“ expander”，可以找到许多更详细的指针。

正如Yuval Filmus指出的那样，随机构造通常可能会带来更好的结果，但当然不会产生扩展器（尤其是对于小图）。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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谢谢你的发言。我之前在其他网站上搜索过扩展器，但在MO上却没有搜索过，实际上确实有更多结果。

— user2145167 2013年

给定一个随机正则图是一个扩展器whp（遵循下面链接的MATLAB代码的文档中给出的参考），我曾经使用以下内容：

— da田
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