如何实际构造规则的扩展图?


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我需要为n个顶点的一些小的固定d(例如3或4)构造d-正则展开图。

在实践中最简单的方法是什么?构造一个随机的d-正则图,证明它是扩展器?

我还阅读了有关作为扩展器的Margulis构造和Ramanujan图以及使用Z字形乘积的构造。Wikipedia给出了一个很好但很简短的概述:http : //en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 但是我在实践中选择哪种方法?

对我来说,这些方法的实现似乎非常复杂,尤其是要理解甚至很具体。难道没有更简单的方法(可能基于排列左右)来实际生成一系列d-正则展开图吗?

构造d-正则二分式展开图可能更容易吗?

我还有一个问题:不良的d-regular扩展器家族如何?这样的想法有意义吗?在扩展器的意义上,能否构造出一系列尽可能不好的d-正则图(当然是相连的)?

提前致谢。


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比您列出的结构更简单的显式结构,但是随机图应该可以解决问题,并具有更好的参数。
Yuval Filmus 2013年

您能否提供这些结构的名称或参考?我猜,更好的参数表示更好的(边缘)扩展?
user2145167 2013年

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András给出了我想到的示例,但总的来说,随机图(几乎总是)比显式构造更好。不仅边缘扩展更大,而且可能对随机图自动满足其他对您的算法有用的类似属性。
Yuval Filmus

好的,对于3级而言,András的例子或随机图对于我的应用程序似乎足够好。尤其是对于随机图,构造不是扩展器的3-reg图族将是有趣的。但这可能很难还是不可能?
user2145167 2013年

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s的并集。如果需要连接的图,请从每个K 4中除去一个边(形成称为菱形图的图),然后将它们循环连接。K4K4
Yuval Filmus

Answers:


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如果您不介意带有自环的图,则“最简单的”扩展器族可能就是这一类,从而使扩展器具有3个正则。

以一些质数开头,并构造从0p 1的顶点。对于每个顶点u 0,将u连接到u 1u + 1(模p)。同时,连接ü独特的顶点v,使得ü v 1p0p1u0uu1u+1puvuv1modp

例如,该族中的7个顶点图是一个7个循环,顶点在该循环附近按顺序编号;有自循环于0,和1 ; 最后,有和弦连接35以及246013524

有关 更多讨论和参考,请参阅/mathpro/124708/an-expander-graph。通过在CSTheoryMath.SEMO上搜索“ expander”,可以找到许多更详细的指针。

正如Yuval Filmus指出的那样,随机构造通常可能会带来更好的结果,但当然不会产生扩展器(尤其是对于小图)。


谢谢你的发言。我之前在其他网站上搜索过扩展器,但在MO上却没有搜索过,实际上确实有更多结果。
user2145167 2013年

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