如何证明语言是正规的？

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有很多方法可以证明某种语言不是正规语言，但是我需要做些什么来证明某种语言是正规语言呢？

例如，如果给我是规则的，那么我怎么能证明后面的也是规则的呢？ $L$ $L'$

$\qquad \displaystyle L' := \{w \in L: uv = w \text{ for } u \in \Sigma^* \setminus L \text{ and } v \in \Sigma^+ \}$

我可以画一个不确定的有限自动机来证明这一点吗？

— 真皮
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1

您的

的定义中有错别字，请编辑以解决。

L^{'}

$L'$

— Ran G.

2

“绘画”没有证据；您必须提供NFA并证明它接受该语言。

— 拉斐尔

我认为语言定义仍然没有意义...

— hugomg

2

无论如何，如果问题是“我可以画一个NFA来证明它是正常的”，则该特定语言是无关紧要的。@corium，我们可以编辑问题以反映更笼统的问题：“如何证明特定的

是规则的”吗？

L

$L$

— Ran G.

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是的，如果您可以提出以下任何一项建议：

对于某些语言，则是规则的。还有更多的等效模型，但以上是最常见的。 $L$ $L$

在“计算”世界之外，还有一些有用的属性。如果也是正规的 $L$

这是有限的
您可以通过对常规语言执行某些操作来构造它，而这些操作对于常规语言是封闭的，例如
- 路口，
- 补充，
- 同态
- 逆转
- 左或右商
- 定期转导
还有更多，或者
如果的等价类的数量是有限的，则使用Myhill-Nerode定理。 $L$

在给定的示例中，我们有一些（常规）语言作为基础，并且想说一些关于从中衍生的语言。遵循第一种方法-为构建一个合适的模型-我们可以假设我们想要的任何等效模型；当然，由于未知，它将保持抽象。在第二种方法中，我们可以直接使用并对其应用闭包属性，以获得对的描述。 $L$ $L'$ $L'$ $L$ $L$ $L$ $L'$

— 冉G.
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4

值得一提的是，证明一种语言是有限的就足以表明它是正规的。这很有用，特别是在非构造性案例证明中。

— Patrick87

2

编程语言中发现的regexp可以做的比常规语言要多得多。您必须限制为“经典”构造。

— 大卫·路易斯

4

@DavidLewis：在此站点上，您可能会假设“正则表达式”是指经典概念。

— 拉斐尔

@DavidLewis我同意，应该在理论上避免“ regexp”，以避免混淆。

— 拉斐尔

请注意，对于前四个项目符号中的任何一个，您都需要证明您的陈述确实正确的证据。

— 拉斐尔

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基本方法

有限自动机（可能不确定，具有空过渡）。
常用表达。
右（或左，但不是全部）线性方程，例如，其中和是规则的。 $X = KX + L$ $K$ $L$
常规（第3类）语法。
保留常规语言的运算（布尔运算，乘积，星号，混洗，态射，态射逆，反转等）
由有限的半边形识别。

逻辑方法（通常用于形式验证）

Monadic二阶逻辑（布奇定理）。
线性时间逻辑（坎普定理）。
拉宾树定理（具有两个后继的单子二阶逻辑）。很强大。

先进的方法

复杂的抽水引理。例如，参见
[1] J. Jaffe，《常规语言的必要而充分的抽取引理》，Sigact News-SIGACT 10（1978）48-49。
[2] A. Ehrenfeucht，R。Parikh和G. Rozenberg，《常规集的抽水引理》，SIAM J. Comput。 10（1981），536-541。
[3] S. Varricchio，规则集的抽水条件，SIAM J. Comput。 26（1997）764-771。
好准订单。参见
[4] W. Bucher，A。Ehrenfeucht，D。Haussler，关于由导数关系产生的总调节器，Theor。计算科学 40（1985）131–148。
[5] M. Kunz，语言不等式和良好拟序的正则解。
支持有理数列。 $\mathbb{N}$
基于转导的代数方法（另请参见保留常规语言的操作）。

— J.-E. 销
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4

Ran G.的答案给出了相当广泛的等效模型列表，这些等效模型可用于指定常规语言（列表还在继续，双向自动机，MSO逻辑，但是在“更多等效模型”下的链接涵盖了'）。正如拉斐尔（Raphael）强调的那样，我们需要一个论点来说服听众相信所选择的陈述确实是正确的。

重新考虑该问题，它添加了“例如 ”。这意味着我们必须给出一个有效的构造，在给定上述任何模型的情况下，我们假定指定语言，都将该模型转换为。通常，这将是同一类型的模型，但不必是：例如，我们可以从的确定性FSA开始，到的确定性FSA 结束。 $\dots$ $L$ $L'$ $L$ $L'$

这包括可能使用闭合操作：在例子中，明确给出的操作，我们有。 $L'= (\Sigma^* \setminus L) \cdot \Sigma^*$

因此，我的观点是，答案很不错，但是当我们不从头开始构建特定语言时，应该添加“从到构造”。 $L$ $L'$

— 亨德里克·扬
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1

我不太确定你在做什么。如果我有

某些模型，则可以将其转换为其他任何等效模型。

L^{'}

$L'$

— 拉斐尔

@Raphael抱歉，我的意思是正确的。较早的答案似乎解释了我们可以构造语言的描述（如自动机，操作等）。我同意。但是，问题似乎与闭包属性有关，请参见给出的示例。在其他答案中，我没有提到这一点：要证明闭包属性，您假设您有一个描述，然后构造一个新的描述。

— Hendrik

1

啊，这个

！现在我明白了，我的坏。我同意，Ran的答案缺少这一方面。

L^{'}

$L'$

— 拉斐尔

1

我不确定为什么会丢失（或到底缺少了什么）。假设你有一个经常

，和你想证明

是有规律的，以及，你可以开始

的DFA，并用它来建立一个DFA的

。但是，这是由“构造DFA的覆盖

” ..有没有限制使用

自动完成这项任务（自然，如果

通过定义

，你将被迫使用

的自动机。）。这同样适用于正则表达式，闭合，语法等

L^{'}

$L'$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L^{'}

$L'$

— 冉G.

1

哦好的。实际上，我宁愿编辑问题，并删除“例如”部分，从而使问题更笼统，并为以后的类似问题提供参考。.（：

— Ran G.

4

有时你会遇到指定为“所有字符串语言，每一个的-元素串满足，其中” 是一些固定不变的。在这种情况下，语言将是常规的。这里的想法是定义一个有限自动机，其某些状态“记住”最近出现的输入符号，如对该问题的回答。 $s$ $k$ $s$ <some property> $k$ $k$

— 里克·德克尔
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4

上面的答案未涵盖的另一种方法是有限自动机转换。举一个简单的例子，让我们展示在shuffle操作下常规语言是关闭的，定义如下：您可以使用闭包属性在shuffle下显示闭包，但也可以直接使用DFA显示它。假设

L_{1} S L_{2} = {x_{1} y_{1} \dots x_{n} y_{n} \in Σ^{*} : x_{1} \dots x_{n} \in L_{1}, y_{1} \dots y_{n} \in L_{2}}

$L_1 \mathop{S} L_2 = \{ x_1y_1 \ldots x_n y_n \in \Sigma^* : x_1 \ldots x_n \in L_1, y_1 \ldots y_n \in L_2 \}$

是一个DFA接受

（为

）。我们构建了一个新的DFA

如下：

A_{i} = ⟨ Σ, Q_{i}, F_{i}, δ_{i}, q_{0 i} ⟩

$A_i = \langle \Sigma, Q_i, F_i, \delta_i, q_{0i} \rangle$

L_{i}

$L_i$

i = 1, 2

$i=1,2$

⟨ Σ, Q, F, δ, q_{0} ⟩

$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

状态集合是，其中，所述第三分量记住下一个符号是否是（当1）或（当2）。 $Q_1 \times Q_2 \times \{1,2\}$ $x_i$ $y_i$
初始状态是。 $q_0 = \langle q_{01}, q_{02}, 1 \rangle$
接受状态为。 $F = F_1 \times F_2 \times \{1\}$
转移函数由下式定义和 $\delta(\langle q_1, q_2, 1 \rangle, \sigma) = \langle \delta_1(q_1,\sigma), q_2, 2 \rangle$ 。 $\delta(\langle q_1, q_2, 2 \rangle, \sigma) = \langle q_1, \delta_2(q_2,\sigma), 1 \rangle$

此方法的更复杂的版本涉及猜测。例如，让我们说明正则语言在反向（即下是关闭的（这里

L^{R} = {w^{R} : w \in Σ^{*}} 。

$L^R = \{ w^R : w \in \Sigma^* \}.$

(w_{1} \dots w_{n})^{R} = w_{n} \dots w_{1}

$(w_1\ldots w_n)^R = w_n \ldots w_1$ 。）这是标准的闭包操作之一，反转下的闭包很容易来自对正则表达式的操作（可以将其视为正则表达式的有限自动机转换的对应项）–只需逆转正则表达式即可。但是您也可以使用NFA证明关闭。假设

由DFA接受

。我们构造一个NFA

，其中

L

$L$

⟨ Σ, Q, F, δ, q_{0} ⟩

$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

⟨ Σ, Q^{'}, F^{'}, δ^{'}, q_{0}^{'} ⟩

$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

状态集合是。 $Q' = Q \cup \{q'_0\}$
初始状态是。 $q'_0$
唯一接受状态是。 $q_0$
转换函数定义如下：，并且对于任何状态和 $\delta'(q'_0,\epsilon) = F$ $q \in Q$ ，。 $\sigma \in \Sigma$ $\delta(q', \sigma) = \{ q : \delta(q,\sigma) = q' \}$

（我们可以摆脱，如果我们允许多个初始状态。）这里的猜测成分是反转后的单词的最终状态。 $q'_0$

猜测通常还涉及验证。一个简单的例子是下闭合转动：假设由DFA接受，其操作如下。NFA首先猜测。然后验证

R (L) = {y x \in Σ^{*} : x y \in L} .

$R(L) = \{ yx \in \Sigma^* : xy \in L \}.$

L

$L$

。我们构造一个NFA

⟨ Σ, Q, F, δ, q_{0} ⟩

$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

⟨ Σ, Q^{'}, F^{'}, δ^{'}, q_{0}^{'} ⟩

$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

q = δ (q_{0}, x)

$q=\delta(q_0,x)$

和

，从移动

到

的非确定性。可以将其形式化如下：

δ (q, y) \in F

$\delta(q,y) \in F$

δ (q_{0}, x) = q

$\delta(q_0,x) = q$

y

$y$

x

$x$

的状态是。除了初始状态，状态是 $Q' = \{q'_0\} \cup Q \times Q \times \{1,2\}$ $q'_0$ ，其中是，我们猜测的状态下，是当前状态，和指定我们是否在该 $\langle q,q_{curr}, s \rangle$ $q$ $q_{curr}$ $s$ $y$ 输入的一部分（1时）或输入的部分（2时）。 $x$
最终状态为：我们接受当。 $F' = \{\langle q,q,2 \rangle : q \in Q\}$ $\delta(q_0,x)=q$
跃迁实现猜测。 $\delta'(q'_0,\epsilon) = \{\langle q,q,1 \rangle : q \in Q\}$ $q$
过渡（每和）模拟原来的DFA。 $\delta'(\langle q,q_{curr},s \rangle, \sigma) = \langle q,\delta(q_{curr},\sigma),s \rangle$ $q,q_{curr} \in Q$ $s \in \{1,2\}$
过渡，对于每个和，实现从移动部到部分。仅当我们在部分达到最终状态时，才允许这样做。 $\delta'(\langle q,q_f,1 \rangle, \epsilon) = \langle q,q_0,2 \rangle$ $q \in Q$ $q_f \in F$ $y$ $x$ $y$

该技术的另一种变体包括有界计数器。作为一个例子，让我们考虑改变编辑距离闭合：给定一个DFA 为，例如构建一个NFA

E_{k} (L) = {x \in Σ^{*} : there exists y \in L whose edit distance from x is at most k} .

$E_k(L) = \{ x \in \Sigma^* : \text{ there exists $y \in L$ whose edit distance from $x$ is at most $k$} \}.$

⟨ Σ, Q, F, δ, q_{0} ⟩

$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

L

$L$

为

如下：

⟨ Σ, Q^{'}, F^{'}, δ^{'}, q_{0}^{'} ⟩

$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

E_{k} (L)

$E_k(L)$

状态集为，其中第二项计算到目前为止所做的更改次数。 $Q' = Q \times \{0,\ldots,k\}$
初始状态是。 $q'_0 = \langle q_0,0 \rangle$
接受状态为。 $F' = F \times \{0,\ldots,k\}$
对于每一个我们必须转变 $q,\sigma,i$ 。 $\langle \delta(q,\sigma), i \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$
插入由转换处理为所有使得。 $\langle q,i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$ $q,\sigma,i$ $i < k$
缺失通过转换处理为所有使得。 $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \epsilon)$ $q,\sigma,i$ $i < k$
取代是类似地通过过渡手柄对所有使得。 $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \tau)$ $q,\sigma,\tau,i$ $i < k$

— Yuval Filmus
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3

语言是常规语言，如果您可以编写一个扫描程序来决定任意字符串，则是否使用不超过固定数量的内存即可确定它们是否属于该语言-即可以在O（1）空间中进行识别。

— reinierpost
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O（1）空间，是什么意思？无论如何，DFA就足够了；可能值得在编程上明确指出这种等效性。

— 拉斐尔

是的，这只是一个不同的观点。

— reinierpost

3

正则表达式转换是证明某些操作下关闭的一种方法。简单的两个例子是在封闭的逆转之下，封闭同态。

$r$ $L$ $L^R$ $L$

$\epsilon^R = \epsilon$ $\sigma^R = \sigma$ $\emptyset^R = \emptyset$
$(r_1+r_2)^R = (r_1^R + r_2^R)$ $(r^*)^R = (r^R)^*$ $(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$

$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$ $(0^*1^*)^R = 1^*0^*$ $r^R$ $L^R$

$h\colon \Sigma \to \Delta^*$ $r$ $L$ $h(L)$ $\sigma$ $r$ $h(\sigma)$

— Yuval Filmus
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0

另一种方法是使用您知道它们已关闭的操作来构建语言。这是对显示正则表达式的扩展，因为您还有更多可用的操作（反转字符串，补码，交点，切段，仅保留一部分，同构和反同构，...）

— 冯布兰德
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2

Ran的答案中已经提到了这一点。

— 拉斐尔