克努斯，德布赖恩和赖斯（1972）的“种植平面树的平均高度”

我试图仅通过基本手段（没有生成函数，没有复杂分析，没有傅立叶分析）来获得标题中的经典论文，尽管精度要低得多。简而言之，我“仅”要证明具有节点的树的平均高度（即，从根到叶的最大节点数）满足。 $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

概述如下。令为高度小于或等于的树数（对于所有，约定），为节点的树高度大于或等于（即）。然后，其中是有限和众所周知， $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ ，对于具有

n

$n$ 节点的通用树集合与具有

n - 1

$n-1$ 节点的二叉树集合是双射的，由加泰罗尼亚数计算。

因此，第一步是找到 $B_{nh}$ ，然后找到的渐近展开式的主要项 $S_n$ 。

在这一点上，作者使用解析组合法（三页）来推导

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

我自己的尝试如下。我考虑与树之间的双射 $n$ 上的正方形网格节点和单调路径 $(n-1) \times (n-1)$ 从 $(0,0)$ 到 $(n-1,n-1)$ ，其不穿过对角线（两种步骤组成： $\uparrow$ 和 $\rightarrow$ ）。这些路径有时称为戴克路径或短途旅行。我现在可以用晶格路径表示 $B_{nh}$ ：它是长度为2（n-1）且高度大于或等于的戴克路径的数量 $h$ 。（注意：高度为的树与高度 $h$ 为的戴克路径成对射 $h-1$ 。）

不失一般性，我假设它们以开头 $\uparrow$ （因此保持在对角线上方）。对于每条路径，我认为第一步是越过线 $y = x + h - 1$ 。从上面的点一直回到原点，我将更改 $\uparrow$ 为 $\rightarrow$ ，反之亦然（这是线的反映）。很明显，我要计算的路径（）与从到的单调路径是双射的，这避免了边界和。（见图）。 $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

在Mohanty 的经典著作《格子路径计数和应用》（1979年，第6页）中，公式

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$ 计算从

(0, 0)

$(0,0)$ 到

的晶格中单调路径的数量

(m, n)

$(m,n)$ ，避免了边界

y = x - t

$y = x - t$ 和

y = x + s

$y = x + s$ ，其中

t > 0

$t > 0$ 和

s > 0

$s > 0$ 。（此结果最初由50年代的俄罗斯统计学家确定。）因此，通过考虑

的新起源

(- h, h)

$(-h,h)$ ，我们满足公式的条件：

s = 1

$s=1$ ，

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ 现在目的地（右上角）是

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$ 。然后

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$ 可以简化为

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$ 依次等于

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$ 与预期公式的区别在于，我求和了奇数（

2 k + 1

$2k+1$ ），而不是所有正整数（

k

$k$ ）。

知道问题出在哪里吗？

— 基督教
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您说您只想使用基本的东西，却使用书中的结果。Mohanty如何得出您使用的身份？

— 拉斐尔

我在第一句话中定义了“基本”的意思：没有生成函数，没有复杂的分析，没有傅立叶分析。莫汉蒂（Mohanty）在他的书中使用基本手段来推导该公式，更确切地说，是晶格路径上反射和包含与排除的原理。（我在上面使用前者。）如果您坚持，我将在问题的末尾添加他的证明。

— 基督教徒

完全没有，只是想确保您自己没有违反规则。

— 拉斐尔

当显然将分析组合学视为基本方法时，将“生成函数”列为非基本方法对我来说很奇怪。似乎本质上是非基本值；例如，您是否具有中央二项式系数的渐近性的可比性证明，以便更好地了解所需的信息？我怀疑这两者密切相关...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— 史蒂文·斯塔德尼基

您构造的从到的单调路径在它们第一次穿过之前仅避免了边界。因此，您使用的公式不适用。 $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— 弗兰克·W
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