克努斯,德布赖恩和赖斯(1972)的“种植平面树的平均高度”


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我试图仅通过基本手段(没有生成函数,没有复杂分析,没有傅立叶分析)来获得标题中的经典论文,尽管精度要低得多。简而言之,我“仅”要证明具有节点的树的平均高度(即,从根到叶的最大节点数)满足。hnnhnπn

概述如下。令为高度小于或等于的树数(对于所有,约定),B_ {nh}n个节点的树高度大于或等于h + 1(即B_ {nh} = A_ {nn}-A_ {nh})。然后h_n = S_n / A_ {nn},其中S_n是有限和 S_n = \ sum_ {h \ geqslant 1} h(A_ {nh}-A_ {n,h-1})= \ sum_ {h \ geqslant 1 } h(B_ {n,h-1}-B_ {nh})= \ sum_ {h \ geqslant 0} B_ {nh}。 众所周知,A_ {nn} = \ frac {1} {n} \ binom {2n-2} {n-1}AnhhAnh=AnnhnBnhnh+1Bnh=AnnAnhhn=Sn/AnnSn

Sn=h1h(AnhAn,h1)=h1h(Bn,h1Bnh)=h0Bnh.
Ann=1n(2n2n1),对于具有n节点的通用树集合与具有n1节点的二叉树集合是双射的,由加泰罗尼亚数计算。

因此,第一步是找到Bnh,然后找到S_n的渐近展开式的主要项Sn

在这一点上,作者使用解析组合法(三页)来推导

Bn+1,h1=k1[(2nn+1kh)2(2nnkh)+(2nn1kh)].

我自己的尝试如下。我考虑与树之间的双射n上的正方形网格节点和单调路径(n1)×(n1)(0,0)(n1,n1),其不穿过对角线(并由两种步骤组成:\ uparrow)。这些路径有时称为戴克路径短途旅行。我现在可以用晶格路径表示Bnh:它是长度为2(n-1)且高度大于或等于h的戴克路径的数量h。(注意:高度为h的树与高度hh-1的戴克路径成对射h1。)

不失一般性,我假设它们以\ uparrow开头(因此保持在对角线上方)。对于每条路径,我认为第一步是越过y = x + h-1线y=x+h1。从上面的点一直回到原点,我将\ uparrow更改,反之亦然(这是y = x + h线的反映)。很明显,我要计算的路径(B_ {nh})与从(-h,h)(n-1,n-1)的单调路径是双射的,这避免了边界y = x + 2h + 1y = x-1。(见图)y=x+hBnh(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1y=x1

在Mohanty 的经典著作《格子路径计数和应用》(1979年,第6页)中,公式

kZ[(m+nmk(t+s))(m+nn+k(t+s)+t)],
计算从(0,0)(m,n)的晶格中单调路径的数量(m,n),避免了边界y=xty=x+s,其中t>0s>0。(此结果最初由50年代的俄罗斯统计学家确定。)因此,通过考虑(-h,h)的新起源(h,h),我们满足公式的条件:s=1t=2h+1现在目的地(右上角)是(n+h1,nh1)。然后
Bnh=kZ[(2n2n+h1k(2h+2))(2n2nh1+k(2h+2)+2h+1)].
可以简化为
Bn+1,h1=kZ[(2nn+1(2k+1)h)(2nn(2k+1)h)],
依次等于
Bn+1,h1=k0[(2nn+1(2k+1)h)2(2nn(2k+1)h)+(2nn1(2k+1)h)].
与预期公式的区别在于,我求和了奇数(2k+1),而不是所有正整数(k)。

知道问题出在哪里吗?


您说您只想使用基本的东西,却使用书中的结果。Mohanty如何得出您使用的身份?
拉斐尔

我在第一句话中定义了“基本”的意思:没有生成函数,没有复杂的分析,没有傅立叶分析。莫汉蒂(Mohanty)在他的书中使用基本手段来推导该公式,更确切地说,是晶格路径上反射和包含与排除的原理。(我在上面使用前者。)如果您坚持,我将在问题的末尾添加他的证明。
基督教徒

完全没有,只是想确保您自己没有违反规则。
拉斐尔

当显然将分析组合学视为基本方法时,将“生成函数”列为非基本方法对我来说很奇怪。 似乎本质上是非基本值;例如,您是否具有中央二项式系数的渐近性的可比性证明,以便更好地了解所需的信息?我怀疑这两者密切相关...π
史蒂文·斯塔德尼基

Answers:


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您构造的从到的单调路径在它们第一次穿过之前仅避免了边界。因此,您使用的公式不适用。(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1y=x+h

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