简洁问题

图的简洁表示的研究是由Galperin和Wigderson于1983 年发起的，他们证明了对于许多简单的问题，例如在图中找到三角形，对应的简洁版本是。PAPADIMITRIOU和Yanakkakis进一步这一行的研究，证明了对一个问题这是 -complete / -complete，相应的简洁版本，即简洁是分别和 -complete。（他们还表明，如果是$\mathsf{NP}$$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-complete，则Succinct为 -complete。$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

现在我的问题是，是否有已知的问题，相应的Succinct版本在？我想知道我可能会在上面错过的其他任何相关结果（包括积极和不可能的结果，如果有的话）。（我无法通过Google搜索找到任何感兴趣的东西，因为简洁，表示，问题，图形之类的搜索词几乎会导致任何复杂的结果！:)）$\Pi$$\mathsf{P}$

这是一个有趣的问题，其简洁版本具有有趣的属性。将Circuit-Size-为问题：给定布尔函数作为位字符串，此函数的电路大小是否最大为？ 注意，这个问题在。2 n 2 n / 2 N $2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

定义Succinct-Circuit-Size-方法是：对于常数，给定，电路，我们想知道其真值表是否是一个实例电路大小的乘积。但这是一个琐碎的问题：实际电路的所有输入都是“是”实例。所以这个问题在。 k n n k C 2 n / 2$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

定义Succinct-Circuit-Size-的更通用的方法是：给我们一个任意电路并想知道其真值表是否编码Circuit-Size-。但是，如果是输入与数，是大小，和，我们可以自动接受：输入本身是语言证人。否则，我们有。在这种情况下，输入长度已经很大，因此我们可以尝试所有可能的分配 ç 2 Ñ / 2 Ñ ç 米Ç 米≤ 2 Ñ / 2米≥ 2 Ñ / 2米2 Ñ 米Ô （1 ） ñ P Ñ P Ñ $2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$$2^n$$m^{O(1)}$时间，获得函数的真值表，现在我们又回到原始的问题。因此，这是一个问题，，其简洁的版本也是。$NP$$NP$$NP$

人们认为这个问题不是 难题。请参阅Kabanets和Cai的论文（http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html）$NP$

假设即使确定给定简洁表示所表示的图是否包含至少一个边均等效于Circuit SAT并因此是NP完全的，则极力主张在任何情况下，简洁表示的任何有趣特性都应为NP-hard 赖斯定理的一个复杂性理论类似物。las，找到赖斯定理的最一般的复杂性理论类似物是一个开放的问题，尽管有一些结果给出了这种复杂性理论类似物的某种形式。

我并不是说这是一个答案，但它需要太多评论。希望它有用。

正如Tsuyoshi指出的那样，很容易猜测所有“非平凡的”特性都是硬的（例如NP-hard）。但是，为了显示这一点，您需要定义非平凡的。在赖斯定理中，非平凡性质是所有性质，除了包含所有可计算枚举语言的属性和不包含可计算枚举语言的属性。对于简洁问题，正确的非平凡定义是什么还不清楚。肯定包含所有字符串或不包含字符串的属性在P中。但是在P中也有其他属性。例如，属性与中间位为0的字符串匹配。或者包含所有位的字符串，因此每 -th位为1，其中Π 2 Ñ 2 Ñ / X X = Ñ Ö （1 $\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$。那么，我们如何定义“琐碎的”来包含这种类型的属性呢？

一种想法是查看那些“对称”的：如果字符串在，则任何排列也都在。这些属性仅取决于字符串中1位的数目。在回答Tsuyoshi所链接的问题时，Ryan Williams给出了指向本文的链接，该链接表明所有此类问题都是UP难题。小号Π 小号$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

其他想法如何定义“非平凡财产”？我们可以将视为布尔函数系列（每个字符串长度的属性的指示符函数）。在我看来，非平凡属性是那些相应的布尔函数族具有非平凡复杂性的属性。例如，我们是否可以证明其关联的布尔函数族具有线性决策树复杂性的属性很难？$\Pi$