计算Weisfeiler-Lehman标签的难度

该1-昏暗Weisfeiler-雷曼算法（WL）是公知的，作为典型的标记或颜色细化算法。它的工作方式如下：

• 初始着色是均匀的，Ç 0（v ）= 1对于所有的顶点v ∈ V （G ^ ）∪ V （ħ ）。$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• 在第一轮，颜色被定义为一对由前述颜色的和颜色的多集对于与相邻的所有。例如，如果和具有相同的度数，则。$(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$
• 为了保持较短的颜色编码，每轮之后将重命名颜色。

给定两个无向图和，如果的顶点的颜色的多集（也称为标签）与的顶点的颜色的多集不同，则算法报告这些图不是同构的；反之亦然。否则，它声明它们是同构的。$G$$H$$G$$H$

众所周知，一维WL对于所有树均正常工作，并且只需要次回合。$O({\log}n)$

我的问题是：

计算树的一维WL标签的难度是多少？下限是否比已知的logspace好？

确定两个图是否具有等效标签的问题以及因此计算规范标签的问题都已完成PTIME。看到

M. Grohe，有限变量逻辑中的等价在多项式时间内完成。Combinatorica 19：507-532，1999。（FOCS'96中的会议版本。）

请注意，颜色优化等效项对应于逻辑C ^ 2中的等效项。

-马丁