可以在小于5的深度进行加法吗？

使用进位前瞻算法，我们可以使用多项式大小深度为5（或4？）的电路系列来计算加法。有可能减小深度吗？我们是否可以使用多项式大小的电路系列来计算两个二进制数的加法，而该系列的深度要小于通过进位前瞻算法获得的深度？ $AC^0$

对于为2或3 的电路族的大小，是否存在任何超多项式下界？ $AC^0_d$ $d$

深度是指交替深度。

— 匿名
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你能告诉我们你的名字吗？你是谁？在过去一个月左右的时间里，人们在这里创建新的用户名，询问问题，然后删除该用户名！

— Tayfun Pay

@Geekster，通常不需要人们创建帐户或使用其真实姓名（但是出于各种原因，鼓励这样做）。如果您对某件事有一般的担忧，请使用“ 理论计算机科学” Meta提出它。

— 卡夫

这可以通过验证没有深度 AC电路可以为某个固定来计算两个位输入的位之和来强加于人。在每个深度处仅存在有限数量的布尔输入位布尔函数。

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx：当对固定的m进行强行强制时，如何在AC0电路上强制多项式大小约束？// OP：当前最佳电路深度是4还是5？

— 罗宾·科塔里

@mjqxxxx：每个布尔函数都可以由深度电路计算。现在，假设您为固定

找到一个大小为

的电路。您如何判断是否每

电路就有

电路，其中

，或者是否只有

电路，其中

？根本没有办法从一个有限的例子中推断出渐近信息。

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— EmilJeřábek支持Monica

Answers:

根据Alexis Maciel和Denis Therien 小多数深度阈值电路中的定理3.1，确实存在一个用于计算两个数字相加的depth-3电路。

精确的结合是其中是具有深度2问题电路与两个门在顶部和电路是电路深度一（有关该符号的详细说明，请参见本文）。 $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

主要的证明思想是：

首先，表达先行进位电路 $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
接着，调用封闭性到写为 $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
最后，使用的事实（也证明在纸），其 $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— 萨米德
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深度2电路需要指数大小来计算加法，因为深度2电路必须为DNF或CNF，并且很容易验证最小和最大项是否存在指数级。

警告：以下部分有故障。请参阅答案下的评论。

我计算的方式可以在深度3中进行加法。假设和是两个数字的第个位，其中是LSB的索引，而MSB是。 $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

让我们来计算的总和的个位，与先行进位的样子的标准方式： $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

其中是XOR和是进位计算为： $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

和意味着该个位置“而生成”的进位： $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

和意味着进会从传播给： $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

计算深度时，是深度2，而是深度3。虽然似乎是深度4或5，但实际上也只是深度3，因为它是对深度3电路的有界扇形计算，因此可以使用de-Morgan公式将顶部的两个级别向下推，同时将电路大小放大多项式。 $p_j$ $c_i$ $s_i$

— 诺姆
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我不太看的深度如何界FANIN计算3个电路自动深度3.如果说，你写的

为

，可以使所述第一间断的深度3电路

在上面，和第二间断的深度3电路

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ 在上面。我看不到如何在不增加深度的情况下向下推顶分离线，以解决这两部分中的连接类型之间的不匹配问题。可以通过指出

也可以通过深度3电路以不同的方式来计算来补救...

c_{i}

$c_i$

— EmilJeřábek支持Monica 2012年

......与

在上面。另一方面，所有深度为3的电路都有底部扇入，因此我将其称为深度2 1/2。

⋀

$\bigwedge$

— EmilJeřábek在2012年

很明显我要指出的是，按照书面要求，您这里没有两个深度为

电路的或，且运算符位于顶部。您有两个深度

电路的OR ，其中一个在顶部具有AND，另一个在顶部具有OR。我怀疑这样的电路通常能否转换为深度

。将多项式扇入AND和OR视为量词。你可以表达

d

$d$

d

$d$

d

$d$

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$ as a prenex formula with

d

$d$ quantifier blocks, but you need

d + 1

$d+1$ blocks to express...

— Emil Jeřábek supports Monica

... the formula

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$ .

— Emil Jeřábek supports Monica

For an explicit counterexample to the general principle, let

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$ be a family of functions computable by

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$ circuits with OR on the top requiring super-polynomial depth

d

$d$ circuits with AND on the top (e.g., Sipser functions). Then

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$ do not have

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$ circuits. Assume for contradiction that

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$ are such circuits, and that

C_{n}

$C_n$ has OR on the top (the other case is symmetric). By setting

x_{0} = 1

$x_0=1$ , we obtain

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$ circuits for

\neg f_{n}

$\neg f_n$ with OR on the top, hence

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$ circuits for

f_{n}

$f_n$ with AND on the top, a contradiction.

— Emil Jeřábek supports Monica