受结问题启发的地理标志方法

GI和结问题都是决定数学对象的结构等效性的问题。是否有任何结果建立它们之间的联系？已经通过结多项式探索了结问题与统计物理学之间的良好联系，是否有类似的结果？ $GI$

在开始研究由打结问题引起的之前，了解是否有任何标准结果/警告/建议/评论将特别有帮助。实际上，我想知道它是否建议朝我的硕士学位论文的方向探索。我对和代数问题的量子/经典方法感兴趣。欢迎其他任何建议。 $GI$ $GI$

— 杜尔加·达塔
source

来自mathworld同构图：“ 从某种意义上讲，图同构在实践中很容易，除了一组似乎引起所有问题的病理学上困难的图。因此，与结理论不同，从来没有任何重要的同构图对尚未解决。……不幸的是，无论是基于图谱还是图的任何其他参数，几乎都没有简单易计算的通用图不变性（Royle 2004）。”

— vzn 2012年

显然，等效结在实践中也很容易。

— 杰夫斯

我在这里有海报类似的问题physics.stackexchange.com/questions/39328/…还有

— DurgaDatta 2012年

据我所知，没有导致所有问题的“病理困难”的结。找到一个在各种无节识别程序上运行时间较差的无节家庭，无论是可证明的还是只是实验性的。

— Sam Nead 2014年

Answers:

一个联系是图同构和结同构都是3流形同胚的特殊情况。在打结的情况下，如果两个打结的补码（通过从3空间删除打结的点而形成的流形）是同胚的，则它们是同构的。

在图的情况下，可以将图变换为流形，使得当且仅当流形为同胚时，图才是同构的。去年12月，我在Google+帖子上对此发表了评论，但不幸的是，我没有分享过。构造将从每个顶点v的流形开始，形式是一束度数（v）回路（在同一顶点连接在一起）的3个球体中的补码形式。对于每个边缘uv，通过手术将u和v的歧管连接在一起，并将u的一个循环和v的一个循环链接到整个手术球。然后，图的每个同构都提升为所得流形的同胚性（即使我们只是在没有花束的3球体上进行手术也是如此），并且束阻止流形具有不来自图的额外同胚性。

— 大卫·埃普斯坦
source

更普遍的问题是结理论与图论之间的联系。作为一种可能的起点，琼斯多项式（用于对结进行分类）与平面图的Tutte多项式之间存在联系。即在结理论中，Tutte多项式显示为交替结的Jones多项式。（所以也许结图理论与平面图上的GI有某种联系。）

请参阅以下代码7,8：

计算图的Tutte多项式和中等大小的 Sekine，今井，Tani 的交替链接的Jones多项式

OLIVER T. DASBACH，DAVID FUTER，EFSTRATIA KALFAGIANNI，林小松和Neal W.STOLTZFUS 表面上的琼斯多项式和图

— z
source