我们可以

我们能否通过深度为多项式大小（无界扇入）电路计算 $n$ 位阈值门 $\frac{\lg n}{\lg \lg n}$ 吗？或者，我们可以使用这些电路来计算输入位中的1的数目吗？

是？ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

请注意，。因此，问题本质上是在计算阈值门时是否可以在电路深度中节省因子。 $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$ $\lg \lg n$

编辑：

正如Kristoffer在他的回答中所写，我们可以保存因子。但是，我们可以节省更多吗？我们可以用替换吗？ $\lg \lg n$ $O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$ $o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

在我看来，分层的蛮力技巧甚至无法保存（更普遍的是任何函数）都无效。 $2 \lg \lg n$ $\lg \lg n + \omega(1)$

cc.complexity-theory circuit-complexity circuit-depth

— 卡韦
source

我修改了答案，还包括最新的修改。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012年

考虑深度为的fanin 2电路。将的层划分为块，每个连续个层。现在，我们希望用深度2电路替换每个块。即，块最后一层中的每个门最多取决于 $C$ $O(\log n)$ $C$ $O(\log n/\log\log n)$ $\log\log n$ $2^{\log\log n} = \log n$ 下一块中最后一层的门。因此，我们可以用多项式大小的DNF替换最后一层中的每个门，输入是下面块最后一层中的门。对所有块的最后一层中的所有栅极执行此操作，并连接这些栅极，即可产生所需的电路。

让我注意到，这本质上是最好的：切换引理允许将下限一直延伸到depth 。 $\log n/ \log\log n$

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

谢谢克里斯托弗。我添加了一个更强有力的问题。

— 卡夫

只是为了确保我正确地了解了这些情况：直到深度

这些电路都无法计算奇偶校验，在这个深度下，它们突然变得能够计算

。

\lg n / \lg \lg n

$\lg n / \lg \lg n$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— 卡夫2012年

没错（深度中的恒定因素）。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012年