平方和证明系统

最近，我在arxiv上看到了几篇文章，这些文章涉及称为平方和的证明系统。

有人可以解释什么是平方和证明以及为什么这样的证明很重要/有趣吗？

它们与其他代数证明系统有什么关系？他们对Lassere是双重的吗？

由Grigoriev和 Vorobjov以Positivstellensatz反驳的名义引入的基本平方和证明系统是一个“静态”证明系统，用于显示一组多项式方程和不等式 其中˚F 1，... ，˚F ķ，ħ 1，...

$$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$$ ，在没有共同的溶液 [R Ñ：的驳斥小号由多项式给出克我和 ë 我，Ĵ使得 - 1 = ķ Σ我= 1克我˚F 我 + Σ 我⊆ { 1 ，... ，米} Σ Ĵ ë 2 $f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$$\mathbb R^n$$S$$g_i$$e_{I,j}$ （一个人可以用任何实闭字段代替R。）Stengle的Positivstellensatz保证，当且仅当它没有解时，S才有反驳。这里的主要复杂性量度是度反驳，这是最大，根据在和体征出现总度多项式的（*），即，克我˚F我和ë2我，ĴΠ我∈我^ h我。 $$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$$ $\mathbb R$$S$$(*)$$g_if_i$$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

照例用代数证明系统中，一个也可以考虑它作为不可满足布尔公式驳斥系统通过包括在小号公理X 2 我 - X 我为每个变量X 我，和一个翻译φ由多项式不等式。$\phi$$S$$x_i^2-x_i$$x_i$$\phi$

有关SOS系统的历史和开发的更多信息，请访问http://arxiv.org/abs/1211.1958。

$p(\vec{x}) \geq 0$$p(\vec{x})$$\vec{x}$

推理规则为：

1. $\over x^2-x \geq 0$
2. $\over x-x^2 \geq 0$
3. $\over p(\vec{x})^2\geq 0$
4. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
5. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
6. $p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$$c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

半定编程和近似算法之间存在很好的联系。

有关更多信息，请查看Albert Atserias在BIRS研讨会上的应用SAT解决理论基础的演讲：

• Albert Atserias，《半代数证明系统迷你教程》（幻灯片），2014年