布尔公式均衡

我正在寻找有关布尔公式平衡问题的复杂性的参考。特别是，

是否知道布尔公式可以在进行平衡？ $\mathsf{AC^0}$
在是否存在布尔公式平衡的简单证明？ $\mathsf{AC^0}$

“简单”是指一种证明，比我在下面提到的证明更简单，特别是我正在寻找一种不依赖布尔公式评估的证明。 $\mathsf{NC^1}$

背景

这里所有提到的复杂性类都是统一的。

BFB（布尔公式平衡）：
给定一个布尔公式，找到一个等效的平衡布尔公式。 $\varphi$

我对这个问题的复杂性感兴趣，特别是显示问题的简单证明位于（甚至或）中。诸如基于Spira引理的常见平衡论点对公式树进行了重复的结构修改，似乎只给。 $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

我有的证明，但是证明并不简单，取决于中的证明。 $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE（布尔公式估计）
给定一个布尔公式和真值赋值的变量，不满足（）？ $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

从Sam Buss的著名结果中可以知道，可以在计算布尔公式评估（）（请参阅[Buss87]和[BCGR92]）。 $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

随之而来（至少令我惊讶的是，布尔公式平衡（）也在： $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

这个想法是，我们可以在的输入门中对进行硬编码以获得等于的公式，这是可以在计算的完全语法运算。由于具有平衡公式，我们为获得了等效的平衡公式。换句话说，该算法为： $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

动机

对于在（或甚至）中的更简单参数，将为的提供一个更简单的证明。因为很容易看到可以在解决BFE 的平衡版本，并且可以将其与组合，结果将在。 $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

问题

是否知道布尔公式可以在平衡（）？ $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
是否有的更简单参数（例如，不依赖）？ $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— 卡韦
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您使用什么“平衡”定义？

— 达娜·莫什科维茨

@Dana，我们可以使用（即带有特定常量）。另请参见Bonnet和Buss的论文“ 布尔公式的大小深度权衡 ”，2002年

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

同意应该明确“平衡”的定义。这类似于二叉树中的平衡概念吗？例如“自我平衡的树木”

— vzn13年

我不确定这是否非常相关，但是在k树中路径和匹配的对数空间算法中（基于过去的悠久历史，特别是Limaye-Mahajan-Rao 在围绕NC1和L进行算术化的类中），我们展示了如何在Logspace中找到树的递归平衡分隔符。如果直接在字符串表示形式中给出输入树，则此界限可能非常适合。 $\mathsf{NC}^1$

基本思想是将树表示为括号表达式，并为这些表达式找到平衡的分隔符。请注意，我们找到了叶子分隔符，即与叶子数量保持平衡的子树。

— 萨米德
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