子集总和与子集乘积（强与弱NP硬度）

我希望有人能够向我解释为什么子集乘积问题恰好是NP难题，而子集和问题却是弱NP难题。

子集和：鉴于和，确实存在一个子集使得。$X = \{x_1,...,x_n\}$$T$$X'$$\sum_{i\in X'}x_i = T$

子产品：鉴于和，确实存在一个子集使得。$X = \{x_1,...,x_n\}$$T$$X'$$\prod_{i\in X'}x_i = T$

我一直认为这两个问题是等效的-SS的实例可以通过取幂转换为SP实例，SP的对数可以通过对数转换为SS。这使我得出结论，它们都属于NP-hard的同一类-即它们都是弱NP-hard。

此外，似乎可以使用变化很小的动态编程（用SP中的除法代替SS中的减法）来解决相同的问题。

直到我读完Bernard Moret的“计算理论”第8章（对于那些没有这本书的人来说，它都有通过X3C证明子集产品硬度的证明-一个很强的NP难题）。

我了解这种减少，但无法弄清楚我先前的结论出了什么问题（两个问题相等）。

更新：结果表明子集乘积仅是弱NP完全的（目标乘积在是指数的）。加里（Gary）和约翰逊（Johnson）于1981年在《NP完整性》专栏中发表了这篇论文，但是我想它不如他们先前在书中声称的那样可见。$\Omega (n)$

关于子集和与子集产品的等价问题，存在子集产品的技术性。如果T不是指数的，则x的乘积实际上就是伪多项式！因此，子集产品被证明为NP Hard的证明不完全正确（出于技术原因！！！）！

但是，如果给定一个T很大的承诺，那么通过对数减去子集总和就可以得到一个非标准子集总和，它超过了实数！这意味着子集和的伪多项式算法不适用！尽管对数很小，但小数位却弄乱了伪多项式动态编程！

我希望这有帮助

撒拉

首先，使用幂运算从SS到SP起作用（使用基数2而不是基数），但是会炸毁所涉及数字的大小。NP硬度弱意味着如果数量较小（或更准确地说，用一元表示），则问题不再困难。因此，即使对于简单的SS实例（使用一元数字写），使用幂运算也会创建SP的指数大小的实例。$e$

其次，使用对数从SP到SS无效，因为对数通常会生成非整数值。SS和SP是使用整数定义的，对数通常会导致先验值，这些值很难表示或难以进行数学运算。

<edit>

设为整数，A > 0，则当且仅当A是2的幂时，log 2 A是有理数的，否则是先验的。首先，如果log 2 A = $A$$A > 0$$\log_2 A$$A$对于非零整数p和q，则A=2$\log_2 A = \frac{p}{q}$$p$$q$，Aq=2p。因此，通过素分解可以得出A=2r。此外，Arq=2p，因此给定A，我们可以选择q=1和p=r证明对数2A是合理的。$A = 2^{\frac{p}{q}}$$A^q = 2^p$$A = 2^r$$A^{rq} = 2^p$$A$$q=1$$p=r$$\log_2 A$

我们只需要证明永远不会超越。这遵循从葛尔方-施耐德定理，对于相等的制剂（如可维基页上找到）为“如果α和γ是非零代数数，我们采取的任何非零的对数α，然后（日志γ ）/（日志α ）= 日志α γ是任一合理的或超越“。这也很容易通过取定理的逆向和设置，以验证α β = γ，因此$\log_2 A$$\alpha$$\gamma$$\alpha$$(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$$\alpha^\beta = \gamma$。$\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

最后，考虑当我们尝试从SP上的SS进行动态编程算法时会发生什么。因为我们使用乘积而不是求和，所以涉及的数字急剧增加，所需的任意精度数学突然成为运行时间的一个因素。这就是为什么即使数字为一元也无法快速求解SP实例的原因。

字面上的解释是，子集乘积问题是NP完全问题，而这是从NP完全完全问题（例如3套精确覆盖）减少而来的。在这种“强”简化中，在子集积问题的结果实例中，输入整数受某些多项式函数的整数限制。

除非否则从任何强NP完全问题到子集和问题，这样的“强”减少都是不可能的。如果输入整数以多项式为界，我们有多项式时间动态规划算法可解决子集和问题。$P=NP$