关于反3-SAT

上下文：Kavvadias和Sideri已证明3-SAT反问题是coNP完全的：给一个基于变量的模型集，是否有一个3-CNF公式使得是其精确的模型集？一个直接的候选公式出现了，它是所有模型都满足的所有3个子句的合取。ñ φ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

由于它包含所有隐含的3个子句，因此可以轻松地将该候选公式转换为等效公式，该公式在分辨率下为3封闭-公式的3闭合式是其分辨率为的闭合子集，包含仅大小为3或更小的子句。一个条款-如果所有可能的预解由下式的一个条款所包含的甲CNF公式下分辨率关闭由子句归入如果所有文字在。 c ^ 1 c ^ 2 c ^ 2 Ç $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

给定，对变量进行部分分配，这样就不会成为任何模型的子集。我$I$$I$$\phi$

呼叫，感应式应用要：包含将计算得到一个字面上的任何条款下从公式中删除，并且评估任何文字在被删除从所有条款。我˚F φ牛逼[R ü è 我˚F 一升小号Ë $F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

调用，该公式是从通过所有可能的3个有限的分辨率（其中，分解数和操作数最多具有3个文字）和包含关系得出的公式。 F ϕ | $G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

问题：在分辨率3下闭合？$G_{\phi|I}$

回答：是的（即使是某些模型的子集）$I$$\phi$

令由得出的所有可能的3限定的分辨率和包含的子句集（是的3限定的闭包）。给定由隐含的子句，它存在的至少一个子集，其子句隐含。将 这样的子集。 ˚F φ ∪ ˚F φ | I R | 我 ˚F φ ∪ ˚F φ | I c F ϕ R | 我 Ç [R $R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

令具有以下属性：对于隐含的所有 ，使得，c F ϕ | c | 我 | ≤ $P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

| R c | ≤ ķ ⇒ Ç | 我 ∈ 摹φ | 我$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$，使得包含某些子句$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

重复从这里开始。给定由隐含，使得，即的3闭包中。F ϕ | c | 我 | ≤ 3 Ç | 我 ∈ ˚F φ | $c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. ∃ ř ç ⊆ - [R | 我 / | R c | = 1 - [R C ^ = { d } d ∈ ˚F φ ∪ ˚F φ | 我 Ç Ç | 我 ð | 我 ∈ ˚F φ | I F ϕ | I G ϕ | 我 P （1 $k=1$。如果则（包含）和被归入（注意的任何条款是由一些条款纳入）。因此。$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. 假设为。如果使得（并且没有其他大小为1的使得和），然后假设其中是未由设置的文字，而是文字的子集，均取值为0在，即，其中不一定不同。 ķ ≥ 1 ∃ ř ç ⊆ - [R | 我 | R c | ≤ ķ + 1个[R Ç ç ∉ ˚F φ | c | > 3 Ç = （α β γ 大号我）α ，β ，γ 我大号我本人（大号我 ≠ ∅ ）Ç | 我$P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$$\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$α ，β ，$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. 从删除子句，使，换句话说，使包含来自一些文字（由于，中至少有一个这样的子句）和。 R c | d 我| 我 | < | d 我 | ≤ 3 d 我大号我 ř Ç大号我 ≠ ∅ | d 我| 我 | ≤ $d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. 剩余集合为。如果隐含某个子句（其中是所有文字的子集，则求和为下的0 ），然后并使得。由，然后通过一些子句归入，诱导对于。 ≤ ķ Ç ' = （α β γ 大号' 我）- [R Ç ∖ d 我大号' 我本人| c ' | 我 | = 3 ∃ ř ç ' = - [R Ç ∖ d 我 ⊆ - [R | 我 | R c ' | ≤ ķ P （ķ ）$R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$∈ģφ| 则P（k+1）$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. 如果包含或或则毫无意义地暗示[某些子句包含]。然后暗示，如前所示，推导。ˉ α ˉ β ˉ γ d 我| 我 Ç ř Ç ∖ d 我 Ç P （ķ + 1 $d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. 如果包含则满足。 Ç | 则 P （k + 1 ）$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. 如果不包含并且不包含或或则或或，其中和而不是由设置，而。 Ç | 我ˉ α ˉ β ˉ γ d 我| I = （x ）d i | I = （a x ）d i | 我 = （X Ý ）X ý ∉ { α β γ } 我一个∈ { α β γ $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • 如果则表示（回想一下，隐含某个子句意味着隐含包含的子句。由于任何以作为操作数的解析都将从另一个操作数中删除，因此子句不包含（因为，它是的3个极限闭合）。然后暗示，得出- [R Ç ∖ d 我（ˉ X α β γ 大号我）Ç Ç d 我| 我 = （X ）ˉ X - [R Ç ∖ d 我ˉ X - [R Ç ∖ d 我 ⊆ - [R | 我 ˚F φ ∪ ˚F φ | 我 - [R Ç ∖ $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$（αβγ大号我）P（ķ+1$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$ 如点（4）所示。

   • 如果则表示。替换由在每个可能的条款（如果新的条款被一些条款中纳入，保持归并条款，而不是无论如何，更换子句在）。将结果集命名为（）。然后隐含，如上所述诱导。- [R Ç ∖ d 我（ˉ X α β γ 大号我）ˉ X一ř ç ∖ d 我 - [R | I R | 我 [R Ç ，d 我 [R Ç ，ð 我 ⊆ [R | 我 - [R Ç ，ð 我（α β γ $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$P（k+1$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • 如果则表示和。在每个可能子句中用替换（如上所述，如果新子句被的某个子句包含，则保留该子句）。将结果集命名为（）。然后表示。由于它还暗示因此它暗示了解析器- [R Ç ∖ d 我（ˉ X α β γ 大号我）（ˉ Ý α β γ 大号我）ˉ X ý ř Ç ∖ d 我 - [R | 我 [R Ç ，d 我 [R Ç ，ð 我 ⊆ [R | 我 - [R Ç ，$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$（ÿαβγ大号我）（ ˉ Ý αβγ大号我）（αβγ大号我）P（ķ+1$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$，得出。$P(k+1)$

通过这种重复，的3闭包中的任何子句都被的某个子句所包含（另一种方式也成立）。然后对应于。˚F φ | 我 ∈ 摹φ | I G ϕ | I F ϕ | $\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

我看不到如何在多项式时间内计算，因为进行解析本身需要指数时间（在最坏的情况下）。例如，假设您的3-CNF候选公式如下： 然后，的解析结果为以下公式： 因此，公式如下： ˚F 1 ˚F 1：= { { 一个，b ，c ^ } ，{ d ，ê ，¬ Ç } ，{ 一个，¬ b ，˚F } ，{ d ，ê ，¬ ˚F } } ˚F 1 ˚F 2 ˚F 2：= {{ { a ，b ，c } $F_\phi$$F_1$

$$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$$ $F_1$$F_2$F ϕ F ϕ $$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$$ $F_\phi$ $$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$$

但是，正如您所看到的，为了获得的final子句，您应该首先获得所有四个字母的子句。因此，我看不出任何方法可以消除指数级增加的分辨率步骤。实际上，对于某些问题（例如信鸽原理），我们知道分辨率不能以少于指数级的多个步骤来解决（但据我所知，公平地说，这些示例并非采用3-CNF格式，并且具有某些智能分辨率当确保输入为3-CNF格式时，可能会存在）。$F_\phi$