NP中的问题如何解决？NP难解决而NP难解决吗？

最长的时间，我一直认为，如果一个问题同时是（1）NP困难和（2）在NP中，那么这个问题就是NP完全的。

但是，在著名的论文“椭球方法及其在组合优化中的后果”中，作者声称分数色数问题属于NP且是NP难的，但尚不知道它是NP完全的。在论文的第三页上，作者写道：

...我们注意到图的顶点堆积问题在某种意义上等于分数色数问题，并评论一个现象，即后一个问题是的一个问题示例，即N P -hard但是（到目前为止）还不知道N P-完成。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

这怎么可能？我是否在NP-complete的定义中缺少细微的细节？

看来问题在于每种方法使用的减少量，并且使用的是不同的减少量：它们的含义可能是“ 硬性库克减少量”和“ N P-完全性状卡普减少量”。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

有时人们使用的库克还原版本 -hardness，因为它是适用于更广泛的计算问题（不只是决策问题）。虽然最初的定义都ñ P -hardness和ñ P -completeness二手库克减少（多项式时间图灵减少）已成为罕见的使用减少库克为ñ P（除非明确说明）-completeness。我不记得最近有一篇文章使用N P -complete来表示N P -complete wrt Cook减少。（附带说明，第一个要证明为N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$-难道TAUT不是SAT，而SAT的完整性在该证明中是隐含的。）

现在，如果您看第195页底部的文章的第7节，您将看到它们的意思是硬度，包括图灵降低。$\mathsf{NP}$

因此，它们在这里的意思是问题在于，对于N P wrt Cook折减很难，但是对于N P wrt Karp折减（多项式多次多折减）很难。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$