没有有效正确性和效率证明的建设性高效算法

我正在寻找有效算法的自然实例（即在多项式时间内）

它们的正确性和效率可以得到建设性的证明（例如在 $PRA$ 或 $HA$ ），但是
没有已知仅使用有效概念的证明（即，我们不知道如何在 $TV^0$ 或证明其正确性和效率 $S^1_2$ ）。

我可以自己做一些人造的例子。但是，我想要有趣的自然示例，即为自己而研究的算法，而不仅仅是为了回答此类问题而创建的。

— 卡韦
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也许是来自自动机理论的东西，一种算法很简单，但是要证明它可行，则需要考虑某物或其他物的所有子集？

— Andrej Bauer

多项式时间素数检查怎么样？该证明可能非常复杂，以至于难以置入

？

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel，实际上是Emil的论文“ 弱鸽洞原理和随机计算 ”是关于形式化概率算法的。正式确定其中一些所需的主要公理似乎是近似计数，这不是

或

。我认为，坚持使用

和

的确定性多重时间情况可能会更简单。

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— 卡夫

ps：如果我们可以证明算法的正确性/效率在这些理论中无法得到证明，或者至少等同于被认为在这些理论中无法证明的陈述，那将更加有趣。但是，以我们目前所知道的要求，这可能太多了。

— 卡夫

@Neel，大多数相关概率可以在一阶系统中完成，因为您实际上并不需要知道事件的确切概率，因此通常只需要将该概率与某些有理数进行比较即可。

— 弗朗索瓦G. Dorais

Answers:

这与Andrej的答案相同，但有更多细节。

克拉吉塞克和Pudlak [ LNCS 960，1995，第210-220 ]已经表明，如果是一个 -特性，在标准模型定义的素数和 $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (x) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < x \land x = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ 然后有一个多项式时间分解算法。这给出了一串例子，因为任何NP算法素性测试基本上产生这样的

式。特别是，AKS素数测试给出了这样一个公式（当以

的语言适当重铸时）。Krajicek和Pudlak的论文提供了更多与密码学有关的此类示例，但比AKS和相关技术要早几年。

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— 弗朗索瓦·多莱斯
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这个示例在层次结构上比Kaveh要求的要低一些，但是是否可以在相应的方法中证明由Hesse，Allender和Barrington进行整数除法和迭代乘法的统一算法的合理性是一个悬而未决的问题。理论。 $\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

该参数非常简单，在上将其形式化应该没有问题，但是对于它遇到了鸡与蛋的问题：它大量使用了函数。-可计算性由算法提供。 $\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

多项式的不可约性测试和因式分解算法给出了另一类示例（主要是在有限域和有理性之上）。这些总是依赖于费马小定理或它的推广（以及其他），因此，在适当的有界算术理论中，尚不能将其形式化。通常，这些算法是随机的，但是对于确定性的多项式时间示例，可以采用Rabin的不可约性检验或Tonelli–Shanks平方根算法（制定为因此，输入中需要二次非残基）。

— EmilJeřábek支持Monica
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该AKS素性测试似乎是一个不错的人选，如果维基百科是可以相信的。

但是，我希望很难找到这样的例子。现有证明将用措词表达出来，以便显然不会在有界算术中完成，但是它们可能会或多或少地（通常会更多）地“适应”有界算术。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

这里是克拉吉塞克和Pudlak一个美妙的纸，让一堆例子：karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— 弗朗索瓦·G. Dorais

@François，为什么不发布答案？:)

— Kaveh

因此，由于做出了较早的幸运猜测，我得到了最高的赞成票数，而其他人实际上知道了发生了什么。数学就像MTV。

— Andrej Bauer