受限单调3CNF公式：计算满足的分配（均取模）

考虑具有以下两个附加限制的单调3CNF公式：

• 每个变量都精确地出现 $2$ 条款。
• 给予任何 $2$ 条款，它们最多共享 $1$ 变量。

我想知道计算这样一个公式的满意分配有多困难。

更新06/04/2013 12:55

我还想知道，确定令人满意的作业数量的奇偶性有多难。

更新11/04/2013 22:40

如果除了上述限制之外，我们还引入了以下两个限制，该怎么办：

• 该公式是平面的。
• 公式是二分的。

更新16/04/2013 23:00

每个令人满意的分配都对应于一个 $3$-正则图。经过广泛的搜索，我唯一能找到的关于计数边缘覆盖的相关论文是Yuval的答案中已经提到的第三篇。在本文的开头，作者说：“我们开始研究图形所有边缘覆盖的采样（以及相关的计数问题）”。令我感到惊讶的是，这个问题受到的关注如此之少（与对顶点覆盖进行计数相比，对于几个图形类而言，顶点覆盖得到了广泛的研究并且被更好地理解了）。我们不知道是否计算边缘覆盖$\#P$-硬。我们不知道确定边缘覆盖数量的奇偶性是否$\oplus P$-很难。

更新09/06/2013 07:38

确定边缘盖数量的奇偶性是 $\oplus P$-hard，请在下面检查答案。

在任何图中，顶点覆盖数量的奇偶性等于边覆盖数量的奇偶性。

要了解原因，请检查此答案并观察$|C|$ 等于 $\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$，反过来等于 $O_{|V|} + E_{|V|}$，这是封边的数量。

计算顶点覆盖数的奇偶性是 $\oplus$P-hard：因此计算边缘覆盖数的奇偶性是 $\oplus$P硬也是。

至少问题的后半部分已经解决。

您的问题可能是＃P-complete，尽管我还没有在文献中找到它。

说明问题的另一种方法是“＃3-regular-edge-cover”。给定一个公式，构造一个图形，其中每个子句对应一个顶点，每个变量对应一个边。由于公式为3CNF，因此图形为3正则（取决于定义，最大度数为3）。此外，该图很简单。令人满意的分配与边缘盖相同。

以下是一些相关的问题：

• ＃1-Ex3MonoSat是＃P-complete。这与您的问题相同，只有令人满意的解决方案必须在每个子句中完全满足一个变量。
• 计算3正则平面图中的顶点覆盖数量是＃P-complete。
• ＃3常规边缘保护套有一个FPRAS。这表明作者认为这个问题很难解决。