复杂性一替代SMT

我在寻找公式可满足性的复杂性 $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ 或公式 $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ 哪里 $\phi$ 是以下形式的公式：

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$ 哪里

c

$c$ 是常数

N

$\mathbb{N}$ ，以及变量的域

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$ 也是

N

$\mathbb{N}$ 。

实际上 $y_i$ 要么 $0$ 要么 $1$ 。这样可以简化复杂性吗？

所有带有参考文献的答案都将被欣然接受。

谢谢

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— 威斯
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如果phi是布尔值，那么您就处于多项式层次结构的第二层，因为我可以通过使用SAT求解器作为oracle的非确定性Turing机解决问题。同样的推理在这里行吗？

— Mikolas

正如该问题所述，这似乎还无法决定，因为它包括希尔伯特的第十个问题en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus查找

@MagnusFind谢谢，你是对的。但实际上我没有乘法（已编辑，对不起）。

— wece 2013年

@Mikolas按您的意思说的是二级

Π_{2}

$\Pi_2$ 要么

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ？在不真正熟悉多项式层次结构的情况下感到抱歉。

— wece 2013年

除了那些量化变量之外，您还有其他自由变量吗？如果是这样，您也应该澄清一下。顺便说一句，一个容易观察到的现象似乎是，即使您将量化变量设为

0

$0$ 和

1

$1$ 。

— 卡韦

Answers:

Redsburg和Loveland相当精确地回答了Presburger算法中有界量词交替的真理问题：

CR Reddy和DW Loveland：带限制量词交替的Presburger算法。

可以在这里找到该文件（很抱歉，链接难看）。其主要结果说明如下：

的会员 $\mathrm{PA}(m)$ （哪里 $m$ 是长度的量词替换的数量 $n$ 可以在太空中决定
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ 并在（确定性）时间内 $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ 哪里 $d$ 和 $e$ 是常数。

服用 $m=2$ ，这似乎至少为您想要的内容提供了一个上限，而且我怀疑它距离紧迫性还很近，因为“根源”上几乎有完整的Presburger原子公式。

— 科迪
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Presburger算术中的一个替换足以获得指数下界，更精确地说是公式，如 $m=1$ 和 $n$ 不够固定（Grädel1989）。

— 西尔万
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我不知道量化片段的引用，但您的问题不一样确定经过充分研究的Presburger算术片段不同，因为您具有单位系数。

普拉特（Pratt）的以下论文研究了约束形式为 $x + c < y$ ，在哪里 $x$ 和 $y$ 是变量和 $c$ 以自然数。他展示了使用图形算法来确定是否可以有效地完成这些约束的结合的问题。

两种很难结合的简单理论。普拉特（Pratt），1977年。

该片段也称为差异逻辑，不幸的是，在很短的时间内，它被称为分离逻辑（因为 $x$ 和 $y$ 用常数分隔）。以下论文提供了解决该问题的无量纲片段的实用观点。

通过SAT和增量负循环消除确定分离逻辑公式。王超，FranjoIvančić，马来加奈，Aarti Gupta，2005年。

目前，您的问题仅允许系数 $0$ 和 $1$ 。如果您还允许 $-1$ 作为系数，在程序分析文献中，您得到的约束的合点称为八边形。约束的合取和析取构成每个不等式的单位二变量（UTVPI）的逻辑。下列论文的介绍介绍了用于确定无量词UTVPI约束的连词可满足性的算法。

UTVPI约束的有效决策程序。Shuvendu K.Lahiri和Madanlal Musuvathi，2005年。

我们仍然处于非常有限的状态。连词的扩展 $n$ 具有单位系数的线性可变不等式称为八面体。这是一个自然的扩展，以至于我希望它已经在数学编程和优化文献中得到了研究，但是我自己并不知道该文献。下面的论文给出了 $\mathcal{O}(3^n)$ 确定这些约束的可满足性的过程。请注意，我们仍然处于无量词片段中。

八面体抽象域。 RobertClarisó和Jordi Cortadella，2004年。

对于有限量词交替的情况，我不知道有比Reddy和Loveland更好的结果，但是也许专家可以为您指明正确的方向。

— 维杰·D
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