是否

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

的Zoo条目 $\mathsf{TC^0}$ 仅提及深度2和深度3之间的分隔。

还有层次结构不会崩溃的事实的标准参考吗？ $\mathsf{AC^0_d}$

— 卡韦
source

一个相关的问题是， /中有多少个不同的函数？这些数量的合理下限将回答您的问题。同样证明哈斯塔德转换引理紧密的证据也许可以回答您的第二个问题。

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$

— MCH

对于第二个问题，我认为它首先在Sipser的STOC '83论文“桶组和电路复杂性”中得到了证明。但是，这仅给出了超多项式的下界。最初的指数下界由姚明给出，后来由霍斯塔德改进。

— 罗宾·科塔里

@MCH，您是说写吗？还是你的意思的问题，等价类的数量 WRT减少？

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$

— 卡夫

我的意思很简单：大小为的电路类别可以代表多少个不同的功能？（我们可以很容易地估计电路的数量，但是要小心，其中一些电路可能会计算出相同的函数。）一旦证明该数量随增长，就可以完成。

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth，不一致。计数似乎不起作用，否则正如我在下面指出的那样，我们可以将与打开的分开。

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— 卡夫

Answers:

对于深度2阈值电路（无界权重），我们没有很好的下界（例如的语言的超）。从多数门构建的深度3电路，即包含此类，因此我们也不知道此类的下限。 $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
source

这回答了我的问题。谢谢克里斯托弗。

— 卡韦

正如我在上面的评论中所写，即使未知NEXP中的问题不在TC之外，通过计数参数下界还是非均匀TC层次结构仍然合适吗？

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— 迪尔沃思2013年

另外，我可以问一问，这与TC上的已知指数下界以及深度3与深度2阈值电路的分离（如在复杂度动物园中所报告的）如何相符？我想念什么吗？

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@Dilworth，我认为这是因为它是使用多数而不是阈值定义的。

— 卡夫

嗯..你到底是什么意思？这是否与克里斯托弗（Kristoffer）关于“无限重量”的注释有关？

— 迪尔沃思2013年

如果我没有话，看来证明层次结构不会崩溃至少与将与分开一样困难： $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

让我们用表示布尔公式评估问题。在减少的情况下，已完成。 $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

由Manindra Agrawal，Eric Allender和Steven Rudich撰写，“ 降低电路复杂性：同构定理和间隙定理 ”，1999年，在简下，是完整的。 $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

假设。然后为。因此。这意味着。 $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

因此，对于所有的，我们有 $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ 表示和。 $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— 卡韦
source