有界基数有界频率集合覆盖：近似硬度

考虑具有以下限制的最小集合覆盖问题：每个集合最多包含元素，并且宇宙中的每个元素最多出现f个集合。$k$$f$

• 示例：和f = 2的情况等效于最大阶数为4的图中的最小顶点覆盖问题。$k = 4$$f = 2$

令为最大值，以便找到具有参数k和f的最小集合覆盖问题的a （k ，f ）近似是NP-难的。$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• 例如：（贝尔曼＆1999斯基）。$a(4,2) \ge 1.0128$

问题：我们是否有参考文献总结上最强的已知下界？特别是在k和f都较小但f > 2的情况下，我对具体值感兴趣。$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

套票问题的受限制版本通常在减少方面很方便；通常有在选择的值有一些自由和˚F上，进一步信息一（ķ ，˚F ）将有助于选择提供最强的硬度结果正确的价值观。这里，此处和此处的参考提供了一个起点，但是信息有些过时且零碎。我想知道是否有更完整和最新的资源？$k$$f$$a(k,f)$

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ （Dinur et al。，2004），如Lev。
• 如果唯一的游戏猜想是正确的，则非常严格（Khot＆Regev，2008）。$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

忽略，$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$（平凡）。
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ （Holmerin，2002）

我知道结合这两个参数的唯一结果是

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$用于固定或用缓慢增长的（Halperin，2002）$k$$k$$\Delta$

这个问题和（弱）独立集问题之间存在联系，但是我不确定它们在近似性方面如何相关。我建议对此进行调查，也许从这里开始：[PDF]。

像詹姆斯·金的答案一样，使用符号表示最多均匀度超图中顶点覆盖的最佳多项式时间逼近，我们也有$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

（1）$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

从贪婪近似算法的集合覆盖率来看：高度超图上的顶点覆盖与具有大小集的集合覆盖问题相同，贪婪算法的近似率最大为，其中是谐波函数。Δ ħ Δ ħ Ñ = 1 + 1 / 2 + ... 1 / Ñ ≤ LN Ñ + Ö （1 $\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

在本文中，我表明

（2）$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

除非，否则通过减少Feige来更改参数。$P=NP$

以防万一您尚未找到它；我在最近的搜索中发现的有界度顶点覆盖的最新硬度结果是Chlebik＆Chlebikova，例如，三次图中的硬度为1.01。

这并不能完全回答您的问题，但可能会有所帮助-有一篇论文 [Dinur等。[2004年]涵盖f> 2（但似乎无法修复k）。