在足够大维的仿射子空间上不恒定的布尔函数

我对具有以下属性的显式布尔函数感兴趣：如果在某些仿射子空间上是常数，则此子空间的维数为。$f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$$f$ ø （Ñ $\\{0,1\\}^n$$o(n)$

通过考虑子空间不难证明对称函数不满足此属性。任何都具有正好为的值，因此是维数为的子空间的常数。$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$ñ / 2 1 ˚F 甲Ñ /$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

交叉发布：https : //mathoverflow.net/questions/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

您要搜索的对象称为带有一个输出位的无核仿射分散器。更一般而言，对于子集的族，具有一个输出位的无籽分散器是函数，使得任何子集，函数都不恒定。在这里，您对是仿射子空间族很感兴趣 { 0 ，1 } Ñ ˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 } 小号∈ ˚F ˚F $\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

Ben-Sasson和Kopparty在“来自子空间多项式的仿射扩散器”中明确构造了尺寸至少为子空间的无核仿射扩散器。分散器的全部细节太复杂了，无法在此处描述。 $6n^{4/5}$

本文中还讨论了一个更简单的情况，就是当我们想要一个仿射色散器用于维子空间。然后，他们的构造视图为，并将分散器指定为，其中表示跟踪图：。轨迹图的关键特性是。 F n 2 F 2 n f （x ）= T r （x 7）T r ：F 2 n → F 2 + T r （y $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ T r （x + y ）= T r （x $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

满足您想要的功能（但比您的功能弱得多）的函数是矩阵的行列式。可以证明， ×矩阵的行列式在维数至少为任何仿射子空间上都是非恒定的。 n×n n 2 −$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$