问题的确切复杂度

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让为，与许该（总和超过）。那么，确定的复杂度是多少？ $x_i \in \{-1,0,+1\}$ $i \in \{1,\ldots,n\}$ $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ $\mathbb{Z}$ $x = 1$

请注意，问题出在因为如果。问题是：问题是否出在？如果是这样，那么见证这一点的电路是什么？如果没有，如何证明这一点？ $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ $x \equiv 1\bmod{m}$ $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— 萨米德
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这个问题可能很简单，但是我不知道答案，并且对了解它会非常感兴趣。

— SamiD

7

您可以使用通常的切换引理参数。您没有解释如何用二进制表示输入，但是在任何合理的编码下，以下函数都是AC等效于您的函数：（我们假设是偶数。）根据这些讲义，假设可以由大小为的深度电路计算。然后，输入的随机限制最多留下了决策树复杂度的函数 $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ 的概率至少为。计算可能会显示这是（在较小的输入大小上）的另一个实例，概率为，因此存在一些随机限制，在上产生两个实例输入和具有恒定决策树复杂性的函数，导致矛盾。相同的参数应产生指数下界。

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Yuval Filmus
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我认为该函数的总灵敏度也将是，因此您可以使用它来获得我的答案的指数下限。我在那里引用的结果使用Linial-Mansour-Nisan定理，该定理本身在决策树复杂度较低的函数谱上使用切换引理+简单边界。

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— 2013年

7

我不认为这是在AC0中，当时，我可以显示区分和的相关诺言问题的下限。类似的傅立叶技术应适用于您的问题，但我尚未证实。也许有一个简单的减少。 $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

假设有一个尺寸为深度为电路来计算函数使每当。因为对于一个随机，的概率为，并且对于每个这样的，都有这种变化的值坐标，总影响是 $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ ，与多数人大致相同（因为您包括了多数人的敏感输入）。根据Hastad定理（请参阅Ryan O'Donnel的注释中的 Colorraly 2.5 ），这意味着

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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