Almost-2-SAT NP难吗？

10

当3个或更多个子句的总数（而不是宽度）在上面被常数限制时，CNF SAT问题NP难吗？如果只有一个这样的子句怎么办？

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
source

8

如果只有一个这样的子句

具有两个以上的项，则在

平凡地求解这样的公式。如果

具有

项，请尝试满足

的

部分分配中的每一个，然后使用已知的线性时间方法求解其余的2-SAT公式。最终，您将找到整个公式的解决方案，或者证明它在

时间内是不满足的，其中

不能超过整个公式中的变量数。

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— 凯尔·琼斯

@KyleJones但是具有

文字的单个子句具有

令人满意的赋值，而不仅仅是

。由于

不受问题限制，因此该方法给出了指数时间算法。

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby 2013年

2

@DavidRicherby要满足该条款，您只需要使其中一个文字评估为true即可。之后，该子句可以忽略，您只剩下2-SAT公式。

字面量意味着您只需尝试

分配。

k

$k$

k

$k$

— 凯尔·琼斯

14

值得一提的是，当放松限制条件后，问题就会变得很棘手。

对于固定数目的子句，这些子句的大小也有界，通过考虑一个具有足够变量的实例，子句中的平均字面量可以接近所需的2。如您所指出的，如果子句大小是有界的，那么就有一个简单的上限，它是多项式。

$2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

$m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

这种减少还表明，即使将“大”子句限制为3个文字的版本也是NP-hard。

剩下的情况是少数几个大子句的大小没有限制。每一个大条款似乎都会使问题更加棘手。有关两个子句的情况，请参阅Pǎtraşcu和Williams撰写的SODA 2010论文：他们认为，如果可以在次二次时间内完成，那么我们将有更好的SAT算法。他们的论点可能会扩展到更多的子句，这将提供证据证明您的上限无法得到改善（对指数时间假设的某种形式进行模运算）。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

仅与切向相关，但是最近ECCC论文以不同的方式表示“几乎2-SAT”并证明其坚硬：eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho Nikolov

8

好，我知道了。答案是不。这可以在多时解决。对于每个3个或更多个子句，请选择一个文字并将其设置为true。然后解决剩下的2个饱和问题。如果有人提供解决方案，那么这就是整体问题的解决方案。由于3个或更多个子句的数量是固定的（例如c），因此，如果所有此类子句的大小均<= m，则该子句以O（m ^（c）* n）的形式运行。O（m ^ c）用于进行每个可能的选择，乘以O（n）来解决剩余的2卫星问题。

— dspyz
source

m

$m$

这是因为m隐含地受原子数限制。显然，子句中的字面量不能超过问题中的原子数。也许我应该澄清m <= n

— dspyz 2013年